Calcule a integral indefinida.
integral 1x^3-x^2 d x

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra calcular a integral indefinida
integral 1x^3-x^2,dx
Isso é conteúdo de cálculo de integrais de funções racionais básicas, e vamos usar dois ingredientes principais:
  1. fatorar o denominador;
  2. decompor em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador x^3 - x^2 = x^2,(x - 1) :
integral 1x^2(x-1),dx
Então a integral vira
1x^2(x-1) = Ax + Bx^2 + Cx-1,
A ideia de frações parciais é escrever
onde , e são constantes a determinar.

Passo 3

Multiplicamos tudo por 1 = Acdot x(x-1) + Bcdot (x-1) + Ccdot x^2 pra achar 1 = A(x^2 - x) + Bx - B + Cx^2 = (A + C),x^2 +(-A + B),x - B :
1x^2(x-1) = -1x - 1x^2 + 1x-1
Expandindo:
Comparando coeficientes com :
  • Para : .
  • Para : .
  • Para constante: .
    Daí , e .
Então

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral 1x^3 - x^2,dx = integrall(-1x - 1x^2 + 1x-1r)dx
  1. -ln|x| + 1x + ln|x-1| + C .
Somando tudo:

Resposta

boxedintegral 1x^3 - x^2,dx = -ln|x| + 1x + ln|x-1| + C

Exercícios relacionados