Calcule a integral definida.
integral0^pi / 2 cos ^3 x sen x d x

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer calcular a integral definida
Conteúdo da matéria: técnicas de integração por substituição (método integral0^pi2 cos^3 x ,sen x ,dx -substituição) em integrais definidas.
O que vamos precisar:
  • Reconhecer que a derivada de é .
  • Fazer a troca de variável .
  • Ajustar os limites de integração para .
  • Integrar uma função polinomial em .

Passo 2

Escolher a substituição u = cos x Longrightarrow du = -sen x,dx Longrightarrow sen x,dx = -,du .
Teoria: no método de substituição, a gente tenta transformar a integral original numa mais simples, trocando por uma variável de modo que parte do integrando vire exatamente .
Aqui:

Passo 3

Mudar os limites de integração.
Para : .
Para : .
Então a integral, antes em de a , vira em de a .

Passo 4

Reescrever a integral em integral0^pi2 cos^3 x,sen x,dx = integralx=0^x=pi2 (cos x)^3;sen x,dx = integralu=1^u=0 u^3 ,(-du) = integralu=0^u=1 u^3 ,du :
[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x,\sen x,dx

\int_{x=0}^{x=\frac{\pi}{2}} (\cos x)^3;\sen x,dx

\int_{u=1}^{u=0} u^3 ,(-du)

\int_{u=0}^{u=1} u^3 ,du
]
(ao inverter os limites, o sinal “ ” some.)

Passo 5

Integrar a função polinomial integral0^1 u^3,du = [u^44]0^1 = 1^44-0^44 = 14 :
[
\int_{0}^{1} u^3,du

\left[\frac{u4}{4}\right]_{0}{1}

\frac{14}{4}-\frac{04}{4}

\frac{1}{4}.
]

Resposta

boxed14

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