Calcule a integral definida.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente quer calcular a integral definida
Conteúdo da matéria: técnicas de integração por substituição (método
-substituição) em integrais definidas.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Reconhecer que a derivada de
é . - Fazer a troca de variável
. - Ajustar os limites de integração para
. - Integrar uma função polinomial em
.
Passo 2
Escolher a substituição
.
Teoria: no método de substituição, a gente tenta transformar a integral original numa mais simples, trocando por uma variável
de modo que parte do integrando vire exatamente
.
Aqui:
Teoria: no método de substituição, a gente tenta transformar a integral original numa mais simples, trocando
Aqui:
Passo 3
Mudar os limites de integração.
Para :
.
Para :
.
Então a integral, antes em de
a
, vira em
de
a
.
Para
Para
Então a integral, antes em
Passo 4
Reescrever a integral em
:
[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x,\sen x,dx
\int_{x=0}^{x=\frac{\pi}{2}} (\cos x)^3;\sen x,dx
\int_{u=1}^{u=0} u^3 ,(-du)
\int_{u=0}^{u=1} u^3 ,du
]
]
(ao inverter os limites, o sinal “
” some.)
Passo 5
Integrar a função polinomial
:
[
\int_{0}^{1} u^3,du
\left[\frac{u4}{4}\right]_{0}{1}
\frac{14}{4}-\frac{04}{4}
\frac{1}{4}.
]
]