Calcule a integral definida.
integral0^1 1raizx^2+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 1raizx^2+1,dx
Isso faz parte de Cálculo Integral, mais especificamente do estudo de antiderivadas de funções que envolvem expressões do tipo . Para resolver, a gente vai precisar
  1. saber qual é a antiderivada (primitiva) de ,
  2. aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar entre 0 e 1.

Passo 2

Qual é a antiderivada de arsinh(x) = ln!l(x + raizx^2+1r) ?
Na teoria, a gente lembra que a função
ddxl[arsinh(x)r] = 1raizx^2+1
é definida como o inverso da função seno hiperbólico, e satisfaz
integral 1raizx^2+1,dx = arsinh(x) + C = ln!l(x + raizx^2+1r) + C
Ou seja,
Aqui usamos a regra de derivação de :
,
e escolhemos .

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral0^1 1raizx^2+1,dx = l[lnl(x + raizx^2+1r)r]0^1 = lnl(1 + raiz1^2+1r) ;-; lnl(0 + raiz0^2+1r)
Calculemos cada parte:
  • Para : , então .
  • Para : , então .

Resposta

integral0^1 1raizx^2+1,dx = lnl(1 + raiz2r)

Exercícios relacionados