Calcule a integral indefinida.
a) integral 1(x+1)^2(x-1) d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 1(x+1)^2(x-1),dx
Aqui o conteúdo é fração parcial (para decompor uma função racional) e integrais básicas (logaritmo e potência). Vamos precisar:
1) Saber fatorar o denominador e escrever a decomposição em frações parciais.
2) Conhecer que integral x^n,dx = x^n+1n+1 (se nneq -1) e integral 1x,dx = ln|x|.

Passo 2

Aplicando frações parciais, a gente supõe:
1(x+1)^2(x-1) ;=;Ax-1 ;+;Bx+1;+;C(x+1)^2
Para achar A,B,C, multiplica tudo por (x+1)^2(x-1) e iguala numerador a numerador:
1 ;=; A(x+1)^2 ;+;B(x+1)(x-1);+;C(x-1)

Passo 3

Agora encontramos A,B,C comparando coeficientes:
  1. Expande:
    A(x^2+2x+1)+B(x^2-1)+C(x-1)=1
  2. Agrupa termos em x^2,x,1:
  • Coef. de x^2: A+B=0
  • Coef. de x: 2A + C=0
  • Constante: A - B - C=1
  1. Resolve o sistema:
  • De A+B=0;Rightarrow;B=-A.
  • De 2A+C=0;Rightarrow;C=-2A.
  • Na constante: A -(-A) -(-2A)=1;Rightarrow;4A=1;Rightarrow;A=tfrac14.
    Logo B=-tfrac14, C=-tfrac12.
Então
1(x+1)^2(x-1) = 1/4x-1 - 1/4x+1 - 1/2(x+1)^2

Passo 4

Integramos termo a termo:
  1. integral 1/4x-1,dx = 14ln|x-1|
  2. integral -1/4x+1,dx = -14ln|x+1|
  3. integral -1/2(x+1)^2,dx = -12integral (x+1)^-2dx = -12cdot(x+1)^-1-1 = 12(x+1)
Somando tudo, a integral fica a soma desses três resultados mais a constante de integração.

Resposta

boxedintegral 1(x+1)^2(x-1),dx = 14lnl|x-1r| - 14lnl|x+1r| + 12(x+1) + C

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