Calcule a integral definida.
integral1^2 1x raizx^2-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral1^21xraizx^2-1,dx
Isso é conteúdo de Cálculo I (integrais), mais especificamente envolve uma substituição trigonométrica ou o reconhecimento da derivada da função inversa arcsecante. Para resolver, a gente vai usar a clássica substituição , que facilita quando aparece .

Passo 2

Teoria da substituição trigonométrica:
Quando você tem x = sectheta , uma boa escolha é . Aqui , então escolhemos
Isso transforma em algo simples de .

Passo 3

Agora calculemos dx = sectheta,tantheta,dtheta, raizx^2-1 = raizsec^2theta -1 = tantheta e integral 1xraizx^2-1,dx = integral 1sectheta;tantheta;l(secthetatantheta,dthetar) = integral 1;dtheta = integral dtheta :
Substituindo na integral original:

Passo 4

Precisamos também mudar os limites:
  • Quando integral1^21xraizx^2-1,dx = integral0^arcsec(2) dtheta = l[thetar]0^arcsec(2) = arcsec(2) - 0 , .
  • Quando , .
    Logo a integral definida vira

Passo 5

Só falta entender . Lembrando que é o ângulo arcsec(2) = arccos!l(tfrac12r) = tfracpi3 tal que , ou seja . Então

Resposta

boxedpi3

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