Calcule a integral definida.
integral0^pi / 4 sen^2 xcos ^4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
Estamos em Cálculo de integrais de funções trigonométricas.
Para resolver, vamos usar:
  1. Identidades trigonométricas (transformar seno e cosseno em secante e tangente)
  2. Substituição integral0^pi/4sen^2 xcos^4 x,dx para integrar potências de .

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando usando :

Passo 3

Agora escrevemos a integral como
integral(sec^4 x-sec^2 x),dx =integralsec^4 x,dx;-;integralsec^2 x,dx
A gente já sabe que
sec^4 x = sec^2 x,(1+tan^2 x) .
Para integralsec^4 x,dx =integral(1+u^2),du =integral1,du + integral u^2,du = u + u^33 =tan x + tan^3 x3 , note que
Fazendo implica . Então

Passo 4

Juntando tudo:
integral(sec^4 x-sec^2 x),dx =l(tan x+tan^3 x3r)-tan x =tan^3 x3
Agora é só avaliar de [tan^3 x3]0^pi/4 =tan^3(pi/4)3-tan^3(0)3 =1^33-0 =13 a :

Resposta

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