Determine o valor de cada integral.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente calcular a integral definida
Isso cai em Integrais de Funções Hiperbólicas (parte de Cálculo). Para resolver vamos precisar:
- A identidade que expressa
em termos de . - Saber integrar funções do tipo
e constantes.
Pronto! Agora vamos por partes.
Passo 2
Primeiro, a teoria da identidade hiperbolica. A gente sabe que
Isso é tipo aquela identidade trigonométrica
, só que na versão hiperbólica. Essa troca deixa a integral mais fácil.
Passo 3
Agora substituímos na integral:
Separei em duas integrais: uma de
e outra de
.
Passo 4
Vamos integrar cada parte:
-
. - Porque a derivada de
dá , então pra compensar a gente divide por 2.
- Porque a derivada de
-
.
Portanto,
Passo 5
É hora de aplicar os limites de
a
:
Agora calculando:
Então o valor é