Determine o valor de cada integral.
integral0^ln 2 senh^2 x d x

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente calcular a integral definida
integral0^ln 2 sinh^2 x ,dx
Isso cai em Integrais de Funções Hiperbólicas (parte de Cálculo). Para resolver vamos precisar:
  1. A identidade que expressa em termos de .
  2. Saber integrar funções do tipo e constantes.
    Pronto! Agora vamos por partes.

Passo 2

Primeiro, a teoria da identidade hiperbolica. A gente sabe que
sinh^2 x = cosh(2x) - 12
Isso é tipo aquela identidade trigonométrica , só que na versão hiperbólica. Essa troca deixa a integral mais fácil.

Passo 3

Agora substituímos na integral:
integral0^ln 2 sinh^2 x ,dx = integral0^ln 2 cosh(2x) - 12 ,dx = 12 integral0^ln 2 cosh(2x),dx ;-;12 integral0^ln 2 1,dx
Separei em duas integrais: uma de e outra de .

Passo 4

Vamos integrar cada parte:
  1. integral sinh^2 x ,dx = 12 l(sinh(2x)2r) - 12 (x) = sinh(2x)4 - x2 + C .
    • Porque a derivada de , então pra compensar a gente divide por 2.
  2. .
Portanto,

Passo 5

É hora de aplicar os limites de [sinh(2x)4 - x2]0^ln 2 = l(sinh(2ln 2)4 - ln 22r) - l(sinh(0)4 - 02r) a 14cdot 158 ;-;ln 22 ;=;1532 ;-;ln 22 :
Agora calculando:
Então o valor é

Resposta

boxedintegral0^ln 2 sinh^2 x,dx = 1532 - ln 22

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