Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra calcular a integral indefinida
Estamos em “integração de funções racionais” e, pra resolver isso, vamos usar o método de frações parciais. Ou seja, vamos reescrever a função como soma de pedaços mais simples que a gente já sabe integrar.
Passo 2
Teoria rápida de frações parciais: se você tem uma função racional cuja denominação é produto de fatores lineares (aqui
e
), você escreve:
O objetivo é achar
,
e
. Depois, cada termo vira uma integral que já conhecemos:
Passo 3
A gente multiplica tudo por
pra “limpar” o denominador:
Agora expande e iguala coeficientes de
,
e termo livre:
-
: . -
: . -
: .
Da equação 2 vem
.
Na 3: →
→
.
Substituindo em 1: →
→
.
Então e
.
Na 3:
Substituindo em 1:
Então
Passo 4
Agora integramos termo a termo: