Calcule a integral indefinida.
integral x^2(x-1)^2(x+1) d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra calcular a integral indefinida
integral x^2(x-1)^2(x+1),dx
Estamos em “integração de funções racionais” e, pra resolver isso, vamos usar o método de frações parciais. Ou seja, vamos reescrever a função como soma de pedaços mais simples que a gente já sabe integrar.

Passo 2

Teoria rápida de frações parciais: se você tem uma função racional cuja denominação é produto de fatores lineares (aqui x^2(x-1)^2(x+1) = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx+1 e integral 1x-a,dx = ln|x-a|, integral 1(x-a)^2,dx = -1x-a ), você escreve:
O objetivo é achar , e . Depois, cada termo vira uma integral que já conhecemos:

Passo 3

A gente multiplica tudo por x^2 = A,(x-1)(x+1) + B,(x+1) + C,(x-1)^2 pra “limpar” o denominador:
Agora expande e iguala coeficientes de , e termo livre:
  1. : .
  2. : .
  3. : .
Da equação 2 vem .
Na 3: .
Substituindo em 1: .
Então e .

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral 3/4x-1,dx = tfrac34 ln|x-1|,
integral 1/2(x-1)^2,dx = tfrac12 l(-1x-1r) = -12(x-1),
integral 1/4x+1,dx = tfrac14 ln|x+1|

Resposta

boxed integral x^2(x-1)^2(x+1),dx = tfrac34,ln|x-1| ;+; tfrac14,ln|x+1| ;-; 12(x-1) ;+; C

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