Calcule a integral definida.
a) integral0^1 1(x^2+1)^2 d x

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente calcular a integral definida
integral0^1 1(x^2+1)^2,dx
Isso é conteúdo de Cálculo I, mais exatamente de integrais que envolvem substituição trigonométrica e manipulação de identidades trig. A gente vai usar a ideia de trocar por pra simplificar o denominador, depois usar a identidade de cosseno pra integrar , e por fim voltar em e aplicar limites.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição trigonométrica
x = tantheta Longrightarrow dx = sec^2theta,dtheta
Quando x^2+1 = tan^2theta +1 = sec^2theta? , 1(x^2+1)^2,dx = 1(sec^2theta)^2,sec^2theta,dtheta = 1sec^4theta,sec^2theta,dtheta = cos^2theta,dtheta . Quando integral0^1 1(x^2+1)^2,dx = integral0^pi/4 cos^2theta,dtheta , . Reparou que
Então o integrando vira
Nossa integral virou

Passo 3

Agora a gente precisa integrar cos^2theta = 1+cos(2theta)2 . Usamos a identidade
integral cos^2theta,dtheta = integral 1+cos(2theta)2,dtheta = 12integral dtheta + 12integral cos(2theta),dtheta
Então
12integral dtheta = theta2, 12integral cos(2theta),dtheta = 12 cdot sin(2theta)2 = sin(2theta)4
Integrando:
integral cos^2theta,dtheta = theta2 + sin(2theta)4 + C
Logo,

Passo 4

A gente vai avaliar de integral0^pi/4cos^2theta,dtheta = l[theta2 + sin(2theta)4r]0^pi/4 = l(pi/42 + sin(pi/2)4r) - l(0 + sin(0)4r) até = pi8 + 14 :
Sabendo que e , temos

Resposta

boxedpi8 + 14

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