Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Beleza, o problema pede para a gente calcular a integral indefinida
Conteúdo: integrais de funções racionais. Vamos precisar de duas “técnicas”:
- decompor o numerador para simplificar a fração;
- usar uma substituição trig (x = tan t) para resolver uma parte que sobra.
Passo 2
Primeiro truque: escrevemos
Isso nos permite dividir o integrando em duas partes mais simples, porque
Passo 3
Então a integral vira
Agora é só resolver as duas separadamente.
Passo 4
Integral fácil:
pois a derivada de
é
.
Passo 5
Fica faltando
A gente usa substituição trig:
coloca , então
e
coloca
Substituindo na integral, dá
E
, então
Agora voltamos a
:
Logo
Passo 6
Juntando tudo: