Calcule a integral indefinida.
integral x^2(x^2+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, o problema pede para a gente calcular a integral indefinida
integral x^2(x^2+1)^2,dx
Conteúdo: integrais de funções racionais. Vamos precisar de duas “técnicas”:
  1. decompor o numerador para simplificar a fração;
  2. usar uma substituição trig (x = tan t) para resolver uma parte que sobra.

Passo 2

Primeiro truque: escrevemos
x^2 = (x^2+1);-;1
Isso nos permite dividir o integrando em duas partes mais simples, porque
x^2(x^2+1)^2 = (x^2+1)-1(x^2+1)^2 = x^2+1(x^2+1)^2 ;-;1(x^2+1)^2 = 1x^2+1 ;-;1(x^2+1)^2

Passo 3

Então a integral vira
integral x^2(x^2+1)^2,dx = integral 1x^2+1,dx ;-; integral 1(x^2+1)^2,dx
Agora é só resolver as duas separadamente.

Passo 4

Integral fácil:
integral 1x^2+1,dx = arctan(x) + C1,
pois a derivada de é .

Passo 5

Fica faltando
I = integral 1(x^2+1)^2,dx
A gente usa substituição trig:
coloca x^2+1 = tan^2 t +1 = sec^2 t , então I = integral 1(sec^2 t)^2,l(sec^2 t,dtr) = integral sec^2 tsec^4 t,dt = integral cos^2 t,dt e
I = integral 1+cos2t2,dt = 12integral dt + 12integral cos2t,dt = t2 + sin2t4 + C2
Substituindo na integral, dá
t = arctan x, sin2t = 2sin tcos t = 2cdotxraizx^2+1cdot1raizx^2+1 = 2xx^2+1
E I = 12arctan x ;+;14,2xx^2+1 + C2 = 12arctan x + x2(x^2+1) + C2 , então
Agora voltamos a :
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Passo 6

Juntando tudo:
integral x^2(x^2+1)^2,dx = l[arctan xr] - l[tfrac12arctan x + tfracx2(x^2+1)r] + C
= arctan x - 12arctan x - x2(x^2+1) + C = 12,arctan x ;-;x2(x^2+1) + C

Resposta

boxedintegral x^2(x^2+1)^2,dx = 12l(arctan x - xx^2+1r) + C

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