Calcule a integral definida.
a) integral1^2 1(x+1)^2(x-1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral1^2 1(x+1)^2(x-1),dx
Isso faz parte de Cálculo Integral, mais precisamente de:
  • Integrais impróprias (porque o integrando explode em ),
  • Decomposição em frações parciais.
Para resolver, a gente vai:
  1. Reconhecer o ponto singular e transformar em integral imprópria;
  2. Fazer a decomposição em frações parciais;
  3. Integrar cada parcela;
  4. Avaliar o limite quando .

Passo 2

Primeiro, note que em integral1^2 1(x+1)^2(x-1),dx ;=; limato1^+ integrala^2 1(x+1)^2(x-1),dx o denominador zera, então o integrando vai para infinito. Isso é uma integral imprópria no limite inferior. Logo, definimos

Passo 3

Agora, decompondo em frações parciais: queremos
1(x+1)^2(x-1) =Ax-1+Bx+1+C(x+1)^2
Multiplicando tudo por 1 ;=; A(x+1)^2 ;+; B(x-1)(x+1);+;C(x-1) , dá
1 = (A+B),x^2 ;+;(2A+C),x ;+;(A - B - C)
Expandindo e agrupando:
A + B = 0, 2A + C = 0, A - B - C = 1
Como A -(-A)-(-2A)=1 Longrightarrow 4A=1 ;Longrightarrow; A=tfrac14 , o sistema é
Resolvendo:
  • De vem .
  • De vem .
  • Substituindo em :
Então e .

Passo 4

A integral fica
integral 1(x+1)^2(x-1),dx = integral!l(1/4x-1 - 1/4x+1 - 1/2(x+1)^2r)dx
Integrando termo a termo:
integral dxx-1 = ln|x-1|, integral dxx+1 = ln|x+1|, integral dx(x+1)^2 = -1x+1
Logo, uma antiderivada é
F(x) = 14ln|x-1| ;-;14ln|x+1| ;-;12l(-1x+1r) = 14ln|x-1| - 14ln|x+1| + 12(x+1)

Passo 5

Agora avaliamos no intervalo integrala^2dx(x+1)^2(x-1) = F(2)-F(a) e depois fazemos F(2) = 14ln(2-1)-14ln(3)+12cdot3 = -14ln3 + 16 :
F(a) = 14ln(a-1)-14ln(a+1)+12(a+1)
  • Em F(2)-F(a);longrightarrow;+infty :
  • Em com :
Quando , . Logo

Resposta

A integral impropria diverge, ou seja, não converge a um valor finito (vai para ).

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