Calcule a integral definida.
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Isso faz parte de Cálculo Integral, mais precisamente de:
- Integrais impróprias (porque o integrando explode em
), - Decomposição em frações parciais.
Para resolver, a gente vai:
- Reconhecer o ponto singular e transformar em integral imprópria;
- Fazer a decomposição em frações parciais;
- Integrar cada parcela;
- Avaliar o limite quando
.
Passo 2
Primeiro, note que em
o denominador
zera, então o integrando vai para infinito. Isso é uma integral imprópria no limite inferior. Logo, definimos
Passo 3
Agora, decompondo em frações parciais: queremos
Multiplicando tudo por
, dá
Expandindo e agrupando:
Como
, o sistema é
Resolvendo:
- De
vem . - De
vem . - Substituindo em
:
Então
e
.
Passo 4
A integral fica
Integrando termo a termo:
Logo, uma antiderivada é
Passo 5
Agora avaliamos no intervalo
integrala^2dx(x+1)^2(x-1) = F(2)-F(a) e depois fazemos
F(2) = 14ln(2-1)-14ln(3)+12cdot3 = -14ln3 + 16 :
- Em
:F(2)-F(a);longrightarrow;+infty - Em
com :
Quando
,
. Logo
Resposta
A integral impropria diverge, ou seja, não converge a um valor finito (vai para
).