Calcule a integral indefinida.
integral 1x(x+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, aqui o desafio é encontrar a primitiva (ou antiderivada) de
integral 1x,(x+1)^2,dx
Isso envolve conteúdo de frações parciais (pra simplificar a função racional) e depois integrais básicas tipo e . Vamos precisar:
  1. Fazer a decomposição em frações parciais.
  2. Integrar termo a termo usando logaritmos e potências.

Passo 2

Decompondo em frações parciais, assumimos:
1x,(x+1)^2 = Ax + Bx+1 + C(x+1)^2
A teoria diz que, para funções racionais onde o denominador tem fatores lineares repetidos, escrevemos um termo para cada multiplicidade. Agora multiplica tudo por 1 = A,(x+1)^2 + B,x,(x+1) + C,x pra achar 1 = A(x^2+2x+1) + B(x^2+x) + Cx = (A+B)x^2 + (2A + B + C)x + A :
1x,(x+1)^2 = 1x - 1x+1 - 1(x+1)^2
Expandindo:
Comparando coeficientes com :
  • Coeficiente de : .
  • Coeficiente de : .
  • Termo independente: .
Logo , , . A decomposição fica:

Passo 3

Agora é só integrar cada pedaço:
  1. ln|x| ;-;ln|x+1|;+;1x+1 + C .
  2. .
  3. .
    Lembra que .
    Aqui tem o “-” de fora, então fica .
Somando tudo, a primitiva é

Resposta

boxedintegral 1x,(x+1)^2,dx = ln|x| ;-;ln|x+1|;+;1x+1 + C

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