Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Beleza, aqui o desafio é encontrar a primitiva (ou antiderivada) de
Isso envolve conteúdo de frações parciais (pra simplificar a função racional) e depois integrais básicas tipo
e
. Vamos precisar:
- Fazer a decomposição em frações parciais.
- Integrar termo a termo usando logaritmos e potências.
Passo 2
Decompondo em frações parciais, assumimos:
A teoria diz que, para funções racionais onde o denominador tem fatores lineares repetidos, escrevemos um termo para cada multiplicidade. Agora multiplica tudo por
pra achar
:
Expandindo:
Comparando coeficientes com
:
- Coeficiente de
: ⇒ . - Coeficiente de
: ⇒ ⇒ . - Termo independente:
.
Logo
,
,
. A decomposição fica:
Passo 3
Agora é só integrar cada pedaço:
-
. -
. -
.
Lembra que.
Aqui tem o “-” de fora, então fica.
Somando tudo, a primitiva é