Calcule a integral indefinida.
\int \operatorname{sec} (a x) d x \quad(a \neq 0)

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integral indefinida) da função x \mapsto \operatorname{sec}(ax), com a \neq 0. Ou seja, calcular
\int \operatorname{sec}(ax)\,dx.
Informações relevantes fornecidas e úteis:
  • O parâmetro a é constante e diferente de zero.
  • Fórmulas que provavelmente serão usadas: derivadas de funções trigonométricas e identidade trigonométrica básica:
    • \dfrac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\operatorname{sec}^2 x.
    • \dfrac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x\bigr)=\operatorname{sec} x\tan x.
    • Identidade: \operatorname{sec}^2 x=1+\tan^2 x.
  • Precisamos encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sec}(ax).

Passo 2

Motivação da técnica: a primitiva direta de \operatorname{sec} não é imediata, mas existe um truque clássico — multiplicar o integrando por uma forma conveniente igual a 1 — que transforma a integral numa forma \dfrac{u'}{u}, cuja primitiva é o logaritmo. Concretamente, multiplicamos por \dfrac{\operatorname{sec}(ax)+\tan(ax)}{\operatorname{sec}(ax)+\tan(ax)} (isso é 1, desde que o denominador não seja zero nos pontos considerados).
Escrevendo:
\int \operatorname{sec}(ax)\,dx = \int \operatorname{sec}(ax)\cdot\frac{\operatorname{sec}(ax)+\tan(ax)}{\operatorname{sec}(ax)+\tan(ax)}\,dx.

Passo 3

Expandindo o numerador da fração:
\operatorname{sec}(ax)\cdot\bigl(\operatorname{sec}(ax)+\tan(ax)\bigr) = \operatorname{sec}^2(ax)+\operatorname{sec}(ax)\tan(ax).
Portanto a integral fica
\int \operatorname{sec}(ax)\,dx = \int \frac{\operatorname{sec}^2(ax)+\operatorname{sec}(ax)\tan(ax)}{\operatorname{sec}(ax)+\tan(ax)}\,dx.

Passo 4

Agora observar a derivada do denominador \operatorname{sec}(ax)+\tan(ax). Usando a regra da cadeia e as derivadas conhecidas:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(ax)+\tan(ax)\bigr) = a\bigl(\operatorname{sec}(ax)\tan(ax)+\operatorname{sec}^2(ax)\bigr).
Repare que o numerador da integral é exatamente \operatorname{sec}^2(ax)+\operatorname{sec}(ax)\tan(ax), isto é, corresponde ao conteúdo entre parênteses acima.

Passo 5

Com isso podemos escrever o integrando como uma razão envolvendo a derivada do denominador:
\frac{\operatorname{sec}^2(ax)+\operatorname{sec}(ax)\tan(ax)}{\operatorname{sec}(ax)+\tan(ax)} = \frac{1}{a}\cdot\frac{\dfrac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(ax)+\tan(ax)\bigr)}{\operatorname{sec}(ax)+\tan(ax)}.
Logo a integral torna-se
\int \operatorname{sec}(ax)\,dx = \frac{1}{a}\int \frac{\dfrac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(ax)+\tan(ax)\bigr)}{\operatorname{sec}(ax)+\tan(ax)}\,dx.

Passo 6

Aplicando a substituição natural u=\operatorname{sec}(ax)+\tan(ax). Então
du=\dfrac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(ax)+\tan(ax)\bigr)\,dx,
e a integral dada passa a ser
\frac{1}{a}\int \frac{du}{u}.

Passo 7

Fórmula básica de integrais: a primitiva de \dfrac{1}{u} é o logaritmo natural \ln|u|. Ou seja,
\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C,
onde C é constante de integração e o valor absoluto aparece porque o logaritmo natural exige argumento positivo; usando valor absoluto garantimos validade para u<0 também.
Portanto, usando a substituição anterior, a primitiva é \dfrac{1}{a}\ln|u|+C, onde u=\operatorname{sec}(ax)+\tan(ax).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{a}\ln\bigl|\operatorname{sec}(ax)+\tan(ax)\bigr|+C

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