Calcule a integral indefinida.
Passo 1
O enunciado pede a primitiva (integral indefinida) da função
, com
. Ou seja, calcular
Informações relevantes fornecidas e úteis:
- O parâmetro
é constante e diferente de zero. - Fórmulas que provavelmente serão usadas: derivadas de funções trigonométricas e identidade trigonométrica básica:
-
. -
. - Identidade:
.
-
- Precisamos encontrar uma função
tal que .
Passo 2
Motivação da técnica: a primitiva direta de
não é imediata, mas existe um truque clássico — multiplicar o integrando por uma forma conveniente igual a
— que transforma a integral numa forma
, cuja primitiva é o logaritmo. Concretamente, multiplicamos por
(isso é
, desde que o denominador não seja zero nos pontos considerados).
Escrevendo:
Passo 3
Expandindo o numerador da fração:
Portanto a integral fica
Passo 4
Agora observar a derivada do denominador
. Usando a regra da cadeia e as derivadas conhecidas:
Repare que o numerador da integral é exatamente
, isto é, corresponde ao conteúdo entre parênteses acima.
Passo 5
Com isso podemos escrever o integrando como uma razão envolvendo a derivada do denominador:
Logo a integral torna-se
Passo 6
Aplicando a substituição natural
. Então
e a integral dada passa a ser
Passo 7
Fórmula básica de integrais: a primitiva de
é o logaritmo natural
. Ou seja,
onde
é constante de integração e o valor absoluto aparece porque o logaritmo natural exige argumento positivo; usando valor absoluto garantimos validade para
também.
Portanto, usando a substituição anterior, a primitiva é
, onde
.