Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo indicado:
; em torno do eixo
Passo 1
O enunciado pede: Calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
.
Informações dadas:
- Curvas:
e . - Eixo de rotação: eixo
. - A região é a área entre essas duas curvas (onde elas se interceptam) — ainda preciso achar esses pontos de interseção.
Passo 2
Determinar os pontos de interseção das curvas para saber os limites de integração. Igualando as duas funções:
Resolvendo:
Logo os pontos de interseção são
e
. Esses serão os limites de integração:
e
.
Passo 3
Precisamos saber qual curva está acima (maior
) no intervalo
, porque ao rotacionar em torno do eixo
a distância até o eixo será dada pela função superior (raio externo) e pela função inferior (raio interno).
Compare:
Para
tem-se
, portanto
. Conclusão: em
a curva superior é
e a inferior é
.
Passo 4
Escolha do método e fórmula (aula rápida): como a rotação é em torno do eixo
e as funções estão dadas como
, o método mais direto é o dos discos/aros (washers). A ideia: cortar o sólido por fatias finas perpendiculares ao eixo
; cada fatia, de espessura
, tem aproximadamente a forma de um disco anelar com raio externo
e interno
. O volume de uma fatia é aproximadamente a área da seção multiplicada por
:
Integrando de
até
obtemos o volume total:
Aqui:
-
é a função que dá o raio externo (distância da curva superior ao eixo de rotação). -
é a função que dá o raio interno (distância da curva inferior ao eixo de rotação). -
e são os limites de integração (pontos de interseção).
Exemplo rápido e intuitivo: se rotacionarmos a reta
entre
e
em torno do eixo
, cada fatia tem raio
e o volume é
.
Passo 5
Identificar
e
no nosso problema:
- Como a curva superior é
, o raio externo é . - A curva inferior é
, o raio interno é .
Ambos são não negativos em, como deve ser um raio.
Passo 6
Montar a integral do volume usando a fórmula dos arcos:
Simplificando a expressão dentro da integral:
portanto o integrando é
. Assim
Passo 7
Calcular a integral term a a termo. Antiderivadas:
Logo uma primitiva do integrando é
Passo 8
Avaliar a primitiva entre os limites
e
:
Calcule cada termo:
Portanto
Colocando em denominador comum
:
Passo 9
Multiplicando por
obtemos o volume final:
Boa! O número é
. Dá para checar a plausibilidade: é positivo e da ordem de dezenas multiplicadas por
, razoável para essa região.