Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo indicado:
y=x^{2}, \quad y=2 x; em torno do eixo
x

Passo 1

O enunciado pede: Calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas y=x^{2} e y=2x em torno do eixo x.
Informações dadas:
  • Curvas: y=x^{2} e y=2x.
  • Eixo de rotação: eixo x.
  • A região é a área entre essas duas curvas (onde elas se interceptam) — ainda preciso achar esses pontos de interseção.

Passo 2

Determinar os pontos de interseção das curvas para saber os limites de integração. Igualando as duas funções:
x^{2}=2x.
Resolvendo:
x^{2}-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-2)=0.
Logo os pontos de interseção são x=0 e x=2. Esses serão os limites de integração: a=0 e b=2.

Passo 3

Precisamos saber qual curva está acima (maior y) no intervalo [0,2], porque ao rotacionar em torno do eixo x a distância até o eixo será dada pela função superior (raio externo) e pela função inferior (raio interno).
Compare:
2x - x^{2} = x(2-x).
Para x\in[0,2] tem-se x(2-x)\ge 0, portanto 2x\ge x^{2}. Conclusão: em [0,2] a curva superior é y=2x e a inferior é y=x^{2}.

Passo 4

Escolha do método e fórmula (aula rápida): como a rotação é em torno do eixo x e as funções estão dadas como y=f(x), o método mais direto é o dos discos/aros (washers). A ideia: cortar o sólido por fatias finas perpendiculares ao eixo x; cada fatia, de espessura dx, tem aproximadamente a forma de um disco anelar com raio externo R(x) e interno r(x). O volume de uma fatia é aproximadamente a área da seção multiplicada por dx:
\text{d}V \approx \pi\bigl(R(x)^{2}-r(x)^{2}\bigr)\,\text{d}x.
Integrando de a até b obtemos o volume total:
V=\pi\int_{a}^{b}\bigl(R(x)^{2}-r(x)^{2}\bigr)\,\text{d}x.
Aqui:
  • R(x) é a função que dá o raio externo (distância da curva superior ao eixo de rotação).
  • r(x) é a função que dá o raio interno (distância da curva inferior ao eixo de rotação).
  • a e b são os limites de integração (pontos de interseção).
Exemplo rápido e intuitivo: se rotacionarmos a reta y=1 entre x=0 e x=1 em torno do eixo x, cada fatia tem raio 1 e o volume é \pi\int_0^1 1^{2}\,\text{d}x=\pi.

Passo 5

Identificar R(x) e r(x) no nosso problema:
  • Como a curva superior é y=2x, o raio externo é R(x)=2x.
  • A curva inferior é y=x^{2}, o raio interno é r(x)=x^{2}.
    Ambos são não negativos em [0,2], como deve ser um raio.

Passo 6

Montar a integral do volume usando a fórmula dos arcos:
V=\pi\int_{0}^{2}\bigl((2x)^{2}-(x^{2})^{2}\bigr)\,\text{d}x.
Simplificando a expressão dentro da integral:
(2x)^{2}=4x^{2},\qquad (x^{2})^{2}=x^{4},
portanto o integrando é 4x^{2}-x^{4}. Assim
V=\pi\int_{0}^{2}\bigl(4x^{2}-x^{4}\bigr)\,\text{d}x.

Passo 7

Calcular a integral term a a termo. Antiderivadas:
\int 4x^{2}\,\text{d}x = \frac{4}{3}x^{3}, \qquad \int x^{4}\,\text{d}x = \frac{1}{5}x^{5}.
Logo uma primitiva do integrando é
F(x)=\frac{4}{3}x^{3}-\frac{1}{5}x^{5}.

Passo 8

Avaliar a primitiva entre os limites 0 e 2:
V=\pi\Bigl[F(2)-F(0)\Bigr] =\pi\Bigl(\frac{4}{3}\cdot 2^{3}-\frac{1}{5}\cdot 2^{5}-0\Bigr).
Calcule cada termo:
2^{3}=8\quad\Rightarrow\quad \frac{4}{3}\cdot 8=\frac{32}{3},
2^{5}=32\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{5}\cdot 32=\frac{32}{5}.
Portanto
F(2)-F(0)=\frac{32}{3}-\frac{32}{5}.
Colocando em denominador comum 15:
\frac{32}{3}-\frac{32}{5}=\frac{32\cdot 5-32\cdot 3}{15}=\frac{160-96}{15}=\frac{64}{15}.

Passo 9

Multiplicando por \pi obtemos o volume final:
V=\pi\cdot\frac{64}{15}=\frac{64\pi}{15}.
Boa! O número é \dfrac{64\pi}{15}. Dá para checar a plausibilidade: é positivo e da ordem de dezenas multiplicadas por \pi, razoável para essa região.

Resposta

\dfrac{64\pi}{15}

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