Calcule a integral indefinida.
\int \sin t \operatorname{sec} ^{2}(\cos t) d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \sin t \,\operatorname{sec}^{2}(\cos t)\,dt.
Informações dadas e coisas claras no integrando:
  • A variável de integração é t.
  • O integrando é o produto de \sin t e \operatorname{sec}^{2}(\cos t).
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) da função, isto é, uma função F(t) tal que F'(t)=\sin t\,\operatorname{sec}^{2}(\cos t).

Passo 2

Observação sobre a estrutura do integrando (sem resolver ainda): há uma função composta \operatorname{sec}^{2}(\cos t), ou seja, \operatorname{sec}^{2} aplicada a \cos t. Também aparece \sin t multiplicando essa função composta. Isso sugere que uma mudança de variável que torne \cos t em uma nova variável pode simplificar a integral, porque a derivada de \cos t envolve \sin t. Vou explicar e aplicar isso no próximo passo.

Passo 3

Explicação didática do método de substituição (útil na prova):
  • A técnica de substituição (trocar variável) serve para transformar uma integral com função composta em uma integral mais simples.
  • A ideia é identificar uma expressão u dentro da, digamos, função externa (aqui \cos t dentro de \operatorname{sec}^{2}(\cdot)) e escrever du em termos de dt. Assim, produtos como \sin t\,dt podem virar du (ou um múltiplo de du).
  • Importante: a diferença entre derivada direta e reversa. Sabemos que \dfrac{d}{du}\tan u=\operatorname{sec}^{2}u. Então \int \operatorname{sec}^{2}u\,du=\tan u + C. Se conseguirmos escrever a integral em termos de u e du, já sabemos a primitiva.

Passo 4

Fazer a substituição explicitamente:
Defina
u=\cos t.
Derivando ambos os lados em relação a t,
\frac{du}{dt}=\frac{d}{dt}\cos t=-\sin t.
Isso implica
du=-\sin t\,dt \quad\Rightarrow\quad \sin t\,dt=-du.
Agora substituímos na integral original. Como \cos t=u e \sin t\,dt=-du, temos
\int \sin t \,\operatorname{sec}^{2}(\cos t)\,dt = \int \operatorname{sec}^{2}(u)\,(-du).

Passo 5

Calcular a integral em u:
\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,(-du) = -\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.
Usando que \dfrac{d}{du}\tan u=\operatorname{sec}^{2}u, obtemos
-\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = -\tan u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar à variável t substituindo u=\cos t:
-\tan u + C = -\tan(\cos t) + C.
Portanto uma primitiva da função dada é -\tan(\cos t)+C.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova para conferir): diferenciar a resposta para ver se volta ao integrando.
Calcule
\frac{d}{dt}\bigl(-\tan(\cos t)\bigr) = -\operatorname{sec}^{2}(\cos t)\cdot\frac{d}{dt}(\cos t) = -\operatorname{sec}^{2}(\cos t)\cdot(-\sin t) = \sin t\,\operatorname{sec}^{2}(\cos t),
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.

Resposta

-\tan(\cos t)+C

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