Calcule a integral indefinida.
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Informações dadas e coisas claras no integrando:
- A variável de integração é
. - O integrando é o produto de
e . - Queremos uma primitiva (antiderivada) da função, isto é, uma função
tal que .
Passo 2
Observação sobre a estrutura do integrando (sem resolver ainda): há uma função composta
, ou seja,
aplicada a
. Também aparece
multiplicando essa função composta. Isso sugere que uma mudança de variável que torne
em uma nova variável pode simplificar a integral, porque a derivada de
envolve
. Vou explicar e aplicar isso no próximo passo.
Passo 3
Explicação didática do método de substituição (útil na prova):
- A técnica de substituição (trocar variável) serve para transformar uma integral com função composta em uma integral mais simples.
- A ideia é identificar uma expressão
dentro da, digamos, função externa (aqui dentro de ) e escrever em termos de . Assim, produtos como podem virar (ou um múltiplo de ). - Importante: a diferença entre derivada direta e reversa. Sabemos que
. Então . Se conseguirmos escrever a integral em termos de e , já sabemos a primitiva.
Passo 4
Fazer a substituição explicitamente:
Defina
Defina
Derivando ambos os lados em relação a
,
Isso implica
Agora substituímos na integral original. Como
e
, temos
Passo 5
Calcular a integral em
:
Usando que
, obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar à variável
substituindo
:
Portanto uma primitiva da função dada é
.
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova para conferir): diferenciar a resposta para ver se volta ao integrando.
Calcule
Calcule
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.