(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
13.
(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
13.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede quatro coisas:
- (a) encontrar os intervalos em que
é crescente ou decrescente; - (b) encontrar os máximos e mínimos locais (valores e pontos);
- (c) encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
- (d) usar (a)-(c) para esboçar o gráfico e verificar (se quiser, com uma ferramenta gráfica).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A fórmula explícita de
: . - Não há restrições de domínio (domínio é
).
Nenhuma figura foi fornecida.
Passo 2
Vamos começar pela derivada primeira: ela nos diz onde a função cresce ou decresce. Regra usada: a derivada de
é
e a derivada é linear (derivada da soma é soma das derivadas). Aplicando:
Aqui
é uma função que para cada
dá a inclinação da reta tangente a
naquele ponto. Se
a função cresce localmente; se
decresce.
Passo 3
Encontrar pontos críticos: resolvemos
.
Fatorando
. Então
Esses são os pontos onde a derivada é zero (candidatos a máximos/mínimos).
Passo 4
Agora analisamos o sinal de
em cada intervalo determinado pelos pontos críticos
e
. Podemos fazer um quadro de sinais simples usando a fatoração:
- Para
: é negativo e é negativo, logo . Multiplicando por mantém o sinal positivo. Assim em . - Para
: é positivo e é negativo, logo . Portanto em . - Para
: é positivo e é positivo, logo . Assim em .
Conclusão sobre monotonia:
-
é crescente em e em . -
é decrescente em .
(Interpretação intuitiva: a função sobe até
, desce de
a
, e sobe novamente depois de
.)
Passo 5
Classificação dos extremos usando o teste da primeira derivada (mudança de sinal de
) e cálculo dos valores:
- Em
: muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Isso indica um máximo local. Calcular o valor:
Logo há um máximo local em
.
- Em
: muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita). Isso indica um mínimo local. Calcular o valor:
Logo há um mínimo local em
.
Observação adicional (útil para o esboço):
é também uma raiz dupla da função (ver passo seguinte), o que explica que a curva “toca” o eixo
em
e volta a subir.
Passo 6
Agora a concavidade: usamos a derivada segunda. Regra: derivar
.
Interpretação: se
a curva é côncava para cima (abre como uma tigela); se
é côncava para baixo (abre como um teto).
Passo 7
Encontrar pontos de inflexão: resolvemos
.
Testando concavidade em torno de
:
- Para
: então ⇒ concavidade para baixo em . - Para
: então ⇒ concavidade para cima em .
Valor da função no ponto de inflexão:
Portanto há ponto de inflexão em
onde a concavidade muda.
Passo 8
Informações úteis adicionais para esboçar o gráfico (raízes, comportamento nas extremidades):
Podemos fatorar
para obter as raízes:
Tentar :
, logo
é raiz. Fazendo a fatoração completa obtemos
Tentar
Assim as raízes são
(simples) e
(raiz dupla).
Comportamento nas extremidades (grau ímpar com coeficiente líder positivo):
- Quando
, . - Quando
, .
Pontos-chave para marcar no esboço:
- Raiz simples:
(a curva atravessa o eixo aqui). - Máximo local:
. - Ponto de inflexão:
. - Mínimo local/raiz dupla:
— a curva toca o eixo e volta a subir (tangência). - Intercepto em
: (já citado).
Passo 9
Instruções e descrição do esboço (como desenhar à mão, sem ferramenta):
- Marque os eixos
e . - Coloque os pontos
, , e . - Lembre-se que para
a curva vem de e é crescente até . - A partir de
a curva desce passando por concavidade para baixo até o ponto de inflexão em , onde a curvatura muda; continua descendo até o mínimo em (aqui toca o eixo e é tangente porque é raiz dupla), e depois sobe para com concavidade para cima. - O gráfico deve mostrar passagem pelo eixo
em (atravessando) e tangência em .
Sugestão amigável: depois de esboçar, confirme com uma calculadora gráfica (WolframAlpha, Desmos, GeoGebra) e compare os pontos críticos e de inflexão — eles devem bater exatamente com os que achamos.
Resposta
(a)
é crescente em
e em
;
é decrescente em
.
(b) Máximo local em
. Mínimo local em
.
(c) Concavidade: côncava para baixo em
, côncava para cima em
. Ponto de inflexão em
.
(d) Esboço: curva passa por
(raiz simples), tem máximo em
, ponto de inflexão em
, toca o eixo em
como raiz dupla e sobe para
quando
; comportamento extremo:
quando
e
quando
.