(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
13. f(x)=x^{3}-3 x^{2}+4

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}-3x^{2}+4 e pede quatro coisas:
  • (a) encontrar os intervalos em que f é crescente ou decrescente;
  • (b) encontrar os máximos e mínimos locais (valores e pontos);
  • (c) encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
  • (d) usar (a)-(c) para esboçar o gráfico e verificar (se quiser, com uma ferramenta gráfica).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A fórmula explícita de f(x): f(x)=x^{3}-3x^{2}+4.
  • Não há restrições de domínio (domínio é \mathbb{R}).
    Nenhuma figura foi fornecida.

Passo 2

Vamos começar pela derivada primeira: ela nos diz onde a função cresce ou decresce. Regra usada: a derivada de x^{n} é n x^{n-1} e a derivada é linear (derivada da soma é soma das derivadas). Aplicando:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-3x^{2}+4\bigr)=3x^{2}-6x+0=3x^{2}-6x.
Aqui f'(x) é uma função que para cada x dá a inclinação da reta tangente a f naquele ponto. Se f'(x)>0 a função cresce localmente; se f'(x)<0 decresce.

Passo 3

Encontrar pontos críticos: resolvemos f'(x)=0.
3x^{2}-6x=0.
Fatorando 3x^{2}-6x=3x(x-2). Então
3x(x-2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=2.
Esses são os pontos onde a derivada é zero (candidatos a máximos/mínimos).

Passo 4

Agora analisamos o sinal de f'(x)=3x(x-2) em cada intervalo determinado pelos pontos críticos x=0 e x=2. Podemos fazer um quadro de sinais simples usando a fatoração:
  • Para x<0: x é negativo e x-2 é negativo, logo x(x-2)>0. Multiplicando por 3>0 mantém o sinal positivo. Assim f'(x)>0 em (-\infty,0).
  • Para 0<x<2: x é positivo e x-2 é negativo, logo x(x-2)<0. Portanto f'(x)<0 em (0,2).
  • Para x>2: x é positivo e x-2 é positivo, logo x(x-2)>0. Assim f'(x)>0 em (2,\infty).
Conclusão sobre monotonia:
  • f é crescente em (-\infty,0) e em (2,\infty).
  • f é decrescente em (0,2).
(Interpretação intuitiva: a função sobe até x=0, desce de 0 a 2, e sobe novamente depois de 2.)

Passo 5

Classificação dos extremos usando o teste da primeira derivada (mudança de sinal de f') e cálculo dos valores:
  • Em x=0: f' muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Isso indica um máximo local. Calcular o valor:
f(0)=0^{3}-3\cdot0^{2}+4=4.
Logo há um máximo local em (0,4).
  • Em x=2: f' muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita). Isso indica um mínimo local. Calcular o valor:
f(2)=2^{3}-3\cdot2^{2}+4=8-12+4=0.
Logo há um mínimo local em (2,0).
Observação adicional (útil para o esboço): x=2 é também uma raiz dupla da função (ver passo seguinte), o que explica que a curva “toca” o eixo x em x=2 e volta a subir.

Passo 6

Agora a concavidade: usamos a derivada segunda. Regra: derivar f'(x).
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-6x\bigr)=6x-6=6(x-1).
Interpretação: se f''(x)>0 a curva é côncava para cima (abre como uma tigela); se f''(x)<0 é côncava para baixo (abre como um teto).

Passo 7

Encontrar pontos de inflexão: resolvemos f''(x)=0.
6(x-1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Testando concavidade em torno de x=1:
  • Para x<1: x-1<0 então f''(x)<0 ⇒ concavidade para baixo em (-\infty,1).
  • Para x>1: x-1>0 então f''(x)>0 ⇒ concavidade para cima em (1,\infty).
Valor da função no ponto de inflexão:
f(1)=1^{3}-3\cdot1^{2}+4=1-3+4=2.
Portanto há ponto de inflexão em (1,2) onde a concavidade muda.

Passo 8

Informações úteis adicionais para esboçar o gráfico (raízes, comportamento nas extremidades):
Podemos fatorar f(x) para obter as raízes:
Tentar x=-1: f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)^{2}+4=-1-3+4=0, logo x=-1 é raiz. Fazendo a fatoração completa obtemos
f(x)=(x+1)(x^{2}-4x+4)=(x+1)(x-2)^{2}.
Assim as raízes são x=-1 (simples) e x=2 (raiz dupla).
Comportamento nas extremidades (grau ímpar com coeficiente líder positivo):
  • Quando x\to -\infty, f(x)\to -\infty.
  • Quando x\to +\infty, f(x)\to +\infty.
Pontos-chave para marcar no esboço:
  • Raiz simples: (-1,0) (a curva atravessa o eixo x aqui).
  • Máximo local: (0,4).
  • Ponto de inflexão: (1,2).
  • Mínimo local/raiz dupla: (2,0) — a curva toca o eixo e volta a subir (tangência).
  • Intercepto em y: f(0)=4 (já citado).

Passo 9

Instruções e descrição do esboço (como desenhar à mão, sem ferramenta):
  1. Marque os eixos x e y.
  2. Coloque os pontos (-1,0), (0,4), (1,2) e (2,0).
  3. Lembre-se que para x\ll0 a curva vem de -\infty e é crescente até (0,4).
  4. A partir de (0,4) a curva desce passando por (-) concavidade para baixo até o ponto de inflexão em (1,2), onde a curvatura muda; continua descendo até o mínimo em (2,0) (aqui toca o eixo e é tangente porque é raiz dupla), e depois sobe para +\infty com concavidade para cima.
  5. O gráfico deve mostrar passagem pelo eixo x em (-1,0) (atravessando) e tangência em (2,0).
Sugestão amigável: depois de esboçar, confirme com uma calculadora gráfica (WolframAlpha, Desmos, GeoGebra) e compare os pontos críticos e de inflexão — eles devem bater exatamente com os que achamos.

Resposta

(a) f é crescente em (-\infty,0) e em (2,\infty); f é decrescente em (0,2).
(b) Máximo local em (0,4). Mínimo local em (2,0).
(c) Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,1), côncava para cima em (1,\infty). Ponto de inflexão em (1,2).
(d) Esboço: curva passa por (-1,0) (raiz simples), tem máximo em (0,4), ponto de inflexão em (1,2), toca o eixo em (2,0) como raiz dupla e sobe para +\infty quando x\to+\infty; comportamento extremo: f(x)\to -\infty quando x\to -\infty e f(x)\to +\infty quando x\to +\infty.

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