(a) Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo local de
.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo local de
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
:
- (a) Encontrar os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente. - (b) Encontrar os valores máximo e mínimo local de
. - (c) Encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é definida para todo
. - Vai ser necessário calcular derivada primeira para (a) e (b) e derivada segunda para (c).
- É preciso analisar sinais das derivadas: onde são positivas/negativas e onde mudam de sinal.
Passo 2
Calcular a derivada primeira
explicando as regras usadas.
Regra que vamos usar: produto de duas funções
tem derivada
(regra do produto). Também usaremos que a derivada de
é
(regra da cadeia simples).
Tomando
e
temos
e
. Logo,
Fatorando
que é sempre positivo (para todo
) obtemos
Colocando em forma factorizada útil:
Explicação dos fatores:
-
para todo . -
e só é zero em . - O fator que pode mudar de sinal é
.
Passo 3
Determinar os pontos críticos (onde
ou
indefinida).
Como
nunca, as soluções de
vêm de
Logo as raízes são
(com multiplicidade 2) e
.
Esses são os pontos onde a derivada se anula (pontos críticos):
e
.
Passo 4
Analisar o sinal de
para determinar onde
é crescente/decrescente.
Como
e
, o sinal de
é o mesmo do produto
. Note que
para todo
, portanto o sinal de
para
é dado pelo sinal de
.
- Para
tem-se , então (exceto em onde ). - Para
tem-se , então .
Assim o comportamento monotônico é:
-
é crescente em (obs.: a derivada se anula em , mas não muda de sinal ali). -
é decrescente em .
Se quiser um curto argumento intuitivo sobre
: à esquerda de
a derivada é positiva, à direita de
também é positiva — portanto em
não há mudança de monotonicidade (não é extremo).
Passo 5
Classificar extremos locais usando a variação do sinal de
(teste da primeira derivada) e calcular os valores.
- Em
: passa de positivo (à esquerda) para positivo (à direita), então não há máximo nem mínimo local em . Valor: . - Em
: passa de positivo (para ) para negativo (para ), portanto é um ponto de máximo local. Valor: .
Não há mínimo local em nenhum outro ponto (apenas esse máximo local em
).
Passo 6
Calcular a derivada segunda
explicando o procedimento.
Partimos de
. Derivamos novamente usando a regra do produto. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Assim,
Substituindo
obtemos
Fatorando
:
Juntando termos semelhantes dentro do colchete:
então
Fatorando
obtém-se uma forma conveniente:
Passo 7
Analisar os zeros de
e a concavidade.
Zeros de
ocorrem quando
ou quando
. Resolver a quadrática:
tem discriminante
. As raízes são
Valores numéricos aproximados:
, logo
Agora o sinal de
é o mesmo do produto
(pois
). Fazendo um estudo de sinal por intervalos (ordem das raízes:
):
- Para
: e os outros dois fatores também são negativos, o produto tem sinal negativo. Logo em → concavidade para baixo. - Para
: , , → produto positivo. Logo em → concavidade para cima. - Para
: , , → produto negativo. Logo em → concavidade para baixo. - Para
: todos os fatores positivos → produto positivo. Logo em → concavidade para cima.
Portanto:
-
é côncava para baixo em . -
é côncava para cima em .
Passo 8
Determinar pontos de inflexão (pontos onde
e há mudança de concavidade).
Os pontos onde
são
,
e
. Como vimos no estudo de sinal de
, em cada uma dessas abscissas o sinal de
realmente muda de positivo para negativo ou vice-versa, portanto cada uma é um ponto de inflexão.
Os pontos de inflexão em coordenadas são:
Resposta
(a)
é crescente em
e decrescente em
.
(b) Máximo local: em
com valor
. Não há mínimo local.
(c)
é côncava para baixo em
e côncava para cima em
. Pontos de inflexão:
,
e
.