(a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo local de f.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
f(x)=x^{3} e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função f(x)=x^{3}e^{-x}:
  • (a) Encontrar os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
  • (b) Encontrar os valores máximo e mínimo local de f.
  • (c) Encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Vai ser necessário calcular derivada primeira para (a) e (b) e derivada segunda para (c).
  • É preciso analisar sinais das derivadas: onde são positivas/negativas e onde mudam de sinal.

Passo 2

Calcular a derivada primeira f'(x) explicando as regras usadas.
Regra que vamos usar: produto de duas funções u(x)v(x) tem derivada u'(x)v(x)+u(x)v'(x) (regra do produto). Também usaremos que a derivada de e^{-x} é -e^{-x} (regra da cadeia simples).
Tomando u(x)=x^{3} e v(x)=e^{-x} temos u'(x)=3x^{2} e v'(x)=-e^{-x}. Logo,
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=3x^{2}e^{-x}+x^{3}(-e^{-x}).
Fatorando e^{-x} que é sempre positivo (para todo x) obtemos
f'(x)=e^{-x}\bigl(3x^{2}-x^{3}\bigr).
Colocando em forma factorizada útil:
f'(x)=e^{-x}x^{2}(3-x).
Explicação dos fatores:
  • e^{-x}>0 para todo x.
  • x^{2}\ge 0 e só é zero em x=0.
  • O fator que pode mudar de sinal é (3-x).

Passo 3

Determinar os pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' indefinida).
Como e^{-x}\neq 0 nunca, as soluções de f'(x)=0 vêm de
x^{2}(3-x)=0.
Logo as raízes são x=0 (com multiplicidade 2) e x=3.
Esses são os pontos onde a derivada se anula (pontos críticos): x=0 e x=3.

Passo 4

Analisar o sinal de f'(x) para determinar onde f é crescente/decrescente.
Como f'(x)=e^{-x}x^{2}(3-x) e e^{-x}>0, o sinal de f' é o mesmo do produto x^{2}(3-x). Note que x^{2}>0 para todo x\neq 0, portanto o sinal de f' para x\neq 0 é dado pelo sinal de (3-x).
  • Para x<3 tem-se 3-x>0, então f'(x)>0 (exceto em x=0 onde f'(0)=0).
  • Para x>3 tem-se 3-x<0, então f'(x)<0.
Assim o comportamento monotônico é:
  • f é crescente em (-\infty,3) (obs.: a derivada se anula em 0, mas não muda de sinal ali).
  • f é decrescente em (3,\infty).
Se quiser um curto argumento intuitivo sobre x=0: à esquerda de 0 a derivada é positiva, à direita de 0 também é positiva — portanto em x=0 não há mudança de monotonicidade (não é extremo).

Passo 5

Classificar extremos locais usando a variação do sinal de f' (teste da primeira derivada) e calcular os valores.
  • Em x=0: f'(x) passa de positivo (à esquerda) para positivo (à direita), então não há máximo nem mínimo local em x=0. Valor: f(0)=0^{3}e^{0}=0.
  • Em x=3: f'(x) passa de positivo (para x<3) para negativo (para x>3), portanto x=3 é um ponto de máximo local. Valor: f(3)=3^{3}e^{-3}=27e^{-3}.
Não há mínimo local em nenhum outro ponto (apenas esse máximo local em x=3).

Passo 6

Calcular a derivada segunda f''(x) explicando o procedimento.
Partimos de f'(x)=e^{-x}(3x^{2}-x^{3}). Derivamos novamente usando a regra do produto. A derivada de e^{-x} é -e^{-x} e a derivada de (3x^{2}-x^{3}) é 6x-3x^{2}. Assim,
f''(x) = \bigl(e^{-x}\bigr)'(3x^{2}-x^{3}) + e^{-x}\bigl(6x-3x^{2}\bigr).
Substituindo \bigl(e^{-x}\bigr)'=-e^{-x} obtemos
f''(x) = -e^{-x}(3x^{2}-x^{3}) + e^{-x}(6x-3x^{2}).
Fatorando e^{-x}:
f''(x)=e^{-x}\bigl(-3x^{2}+x^{3}+6x-3x^{2}\bigr).
Juntando termos semelhantes dentro do colchete:
-3x^{2}-3x^{2}=-6x^{2},
então
f''(x)=e^{-x}\bigl(x^{3}-6x^{2}+6x\bigr).
Fatorando x obtém-se uma forma conveniente:
f''(x)=e^{-x}x\bigl(x^{2}-6x+6\bigr).

Passo 7

Analisar os zeros de f'' e a concavidade.
Zeros de f'' ocorrem quando x=0 ou quando x^{2}-6x+6=0. Resolver a quadrática:
x^{2}-6x+6=0
tem discriminante \Delta=(-6)^{2}-4\cdot1\cdot6=36-24=12. As raízes são
x=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}=3\pm\sqrt{3}.
Valores numéricos aproximados: \sqrt{3}\approx1,732, logo
3-\sqrt{3}\approx1,268,\qquad 3+\sqrt{3}\approx4,732.
Agora o sinal de f''(x) é o mesmo do produto x(x- (3-\sqrt{3}))(x-(3+\sqrt{3})) (pois e^{-x}>0). Fazendo um estudo de sinal por intervalos (ordem das raízes: -\infty,\;0,\;3-\sqrt{3},\;3+\sqrt{3},\infty):
  • Para x<0: x<0 e os outros dois fatores também são negativos, o produto tem sinal negativo. Logo f''(x)<0 em (-\infty,0) → concavidade para baixo.
  • Para 0<x<3-\sqrt{3}: x>0, x-(3-\sqrt{3})<0, x-(3+\sqrt{3})<0 → produto positivo. Logo f''(x)>0 em (0,3-\sqrt{3}) → concavidade para cima.
  • Para 3-\sqrt{3}<x<3+\sqrt{3}: x>0, x-(3-\sqrt{3})>0, x-(3+\sqrt{3})<0 → produto negativo. Logo f''(x)<0 em (3-\sqrt{3},3+\sqrt{3}) → concavidade para baixo.
  • Para x>3+\sqrt{3}: todos os fatores positivos → produto positivo. Logo f''(x)>0 em (3+\sqrt{3},\infty) → concavidade para cima.
Portanto:
  • f é côncava para baixo em (-\infty,0)\cup(3-\sqrt{3},3+\sqrt{3}).
  • f é côncava para cima em (0,3-\sqrt{3})\cup(3+\sqrt{3},\infty).

Passo 8

Determinar pontos de inflexão (pontos onde f''(x)=0 e há mudança de concavidade).
Os pontos onde f''(x)=0 são x=0, x=3-\sqrt{3} e x=3+\sqrt{3}. Como vimos no estudo de sinal de f'', em cada uma dessas abscissas o sinal de f'' realmente muda de positivo para negativo ou vice-versa, portanto cada uma é um ponto de inflexão.
Os pontos de inflexão em coordenadas são:
\bigl(0,\;f(0)\bigr)=(0,0),
\bigl(3-\sqrt{3},\;f(3-\sqrt{3})\bigr)=\Bigl(3-\sqrt{3},\;(3-\sqrt{3})^{3}e^{-(3-\sqrt{3})}\Bigr),
\bigl(3+\sqrt{3},\;f(3+\sqrt{3})\bigr)=\Bigl(3+\sqrt{3},\;(3+\sqrt{3})^{3}e^{-(3+\sqrt{3})}\Bigr).

Resposta

(a) f é crescente em (-\infty,3) e decrescente em (3,\infty).
(b) Máximo local: em x=3 com valor f(3)=27e^{-3}. Não há mínimo local.
(c) f é côncava para baixo em (-\infty,0)\cup(3-\sqrt{3},3+\sqrt{3}) e côncava para cima em (0,3-\sqrt{3})\cup(3+\sqrt{3},\infty). Pontos de inflexão: (0,0), \bigl(3-\sqrt{3},(3-\sqrt{3})^{3}e^{-(3-\sqrt{3})}\bigr) e \bigl(3+\sqrt{3},(3+\sqrt{3})^{3}e^{-(3+\sqrt{3})}\bigr).

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