Calcule a integral definida.
integral0^1 x^3(1+x^2)^2 d x

Passo 1

Beleza, a gente quer calcular a integral definida
integral0^1 x^3l(1+x^2r)^2,dx
O conteúdo aqui é Cálculo de integrais por substituição (e também uma misturinha de contas algébricas). Vamos precisar:
  1. Reconhecer uma boa substituição para simplificar .
  2. Fazer a troca de variáveis, ajustar os limites de integração.
  3. Integrar o que sobrar de forma direta (uma soma de potências de ).

Passo 2

A ideia é ver que a derivada de u = 1 + x^2 Longrightarrow du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2 é , e no numerador temos . Então definimos
Também note que .

Passo 3

Vamos reescrever a integral em termos de integral x^3(1+x^2)^2,dx = integral x^2cdot x,dxu^2 = integral (u-1),l(x,dxr)u^2 = integral u-1u^2,du2 = 12integrall(uu^2-1u^2r),du .
uu^2 = 1u, 1u^2 = u^-2
Simplificando os termos dentro da integral:
12integrall(1u-u^-2r),du = 12l(integral 1u,du - integral u^-2,dur)
Então

Passo 4

Agora integramos cada parte:
integral 1u,du = ln|u|, integral u^-2,du = integral u^-2,du = -u^-1
Logo o antiderivado é
F(u) = 12l(ln u - (-u^-1)r) = 12l(ln u + tfrac1ur)
Voltando pra F(x) = 12l(ln(1+x^2) + 11+x^2r) , integral0^1x^3(1+x^2)^2,dx = F(1) - F(0) , então
Como é integral definida de até , temos

Passo 5

Calculemos:
Para F(1) = 12l(ln(1+1^2) + tfrac11+1^2r) = 12l(ln 2 + tfrac12r) :
F(0) = 12l(ln(1+0) + tfrac11+0r) = 12l(0 + 1r) = 12
Para F(1)-F(0) = 12l(ln2 + tfrac12r) - 12 = 12ln2 + 14 - 12 = 12ln2 - 14 :
Subtraindo:

Resposta

boxedintegral0^1x^3(1+x^2)^2,dx = 12ln 2 ;-;14

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