Calcule a integral definida.
Passo 1
Beleza, a gente quer calcular a integral definida
O conteúdo aqui é Cálculo de integrais por substituição (e também uma misturinha de contas algébricas). Vamos precisar:
- Reconhecer uma boa substituição para simplificar
. - Fazer a troca de variáveis, ajustar os limites de integração.
- Integrar o que sobrar de forma direta (uma soma de potências de
).
Passo 2
A ideia é ver que a derivada de
é
, e no numerador temos
. Então definimos
Também note que
.
Passo 3
Vamos reescrever a integral em termos de
.
Simplificando os termos dentro da integral:
Então
Passo 4
Agora integramos cada parte:
Logo o antiderivado é
Voltando pra
,
, então
Como é integral definida de
até
, temos
Passo 5
Calculemos:
Para :
Para
Para
:
Subtraindo: