Calcule a integral definida.
integral0^1 xraiz1-x^4 d x

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a integral definida
integral0^1 xraiz1 - x^4,dx
Isso é um exercício de Cálculo Integral, e a técnica principal que vamos usar é a substituição. Também vamos precisar lembrar que
ddul(arcsin ur) = 1raiz1 - u^2

Passo 2

Vamos escolher uma substituição que simplifique aquele u = x^2, . Se a gente deixar
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
então
raiz1 - x^4 = raiz1 - (x^2)^2 = raiz1 - u^2
Além disso, o radical vira
E os limites mudam de para viram a .

Passo 3

Substituindo tudo na integral original, temos
integral0^1 xraiz1 - x^4,dx = integralu=0^u=1 1raiz1 - u^2,cdotdu2 = 12integral0^1 duraiz1 - u^2
Repara que agora a gente só precisa saber integrar
.

Passo 4

Do básico de integrais, a gente lembra que
integral duraiz1 - u^2 = arcsin(u) + C
Como é uma integral definida, a gente faz
12l[arcsin(u)r]0^1 = 12l(arcsin(1) - arcsin(0)r)
Sabendo que 12l(tfracpi2 - 0r) = pi4 e , dá

Resposta

boxedpi4

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