As cargas internas em uma seção transversal de um elemento estrutural podem ser representadas por uma força axial de 5 kN, uma força de cisalhamento de 800 N e duas componentes de momento resultante de 30 N cdot m e 40 N cdot m. Determine as tensões normais e de cisalhamento no ponto A. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano nesse ponto.

Passo 1

Beleza, vamos resumir a questão e o que precisamos.
– Enunciado (resumido): Num elemento estrutural, na seção transversal aparecem
• Força axial P = 5 kN
• Força de cisalhamento V = 800 N
• Dois momentos fletor M_y = 30 N·m e M_z = 40 N·m
Você quer saber no ponto A:
  1. Tensão normal σ (devida à tração/compressão + flexão bicomponente)
  2. Tensão de cisalhamento τ (devida ao cisalhamento V)
  3. Máxima tensão de cisalhamento no ponto (considerando o estado de tensão plano)
    – Conteúdo da matéria: Resistência dos Materiais – esforços internos e cálculo de tensões (tração, flexão e cisalhamento) + transformação de tensões em 2D.
    – O que precisamos: as propriedades geométricas da seção (área A, momentos de inércia Iy e Iz, momento estático Q_A e largura b no ponto A), além das coordenadas de A (y_A em relação ao eixo neutro z e z_A em relação ao eixo neutro y).
A partir de agora, vamos montar passo a passo a resolução, explicando a teoria usada em cada etapa.

Passo 2

Calcular a tensão normal devida à força axial.
Teoria: A tensão normal uniforme por tração/compressão é
sigmaP = PA
– P = 5 kN = 5000 N
– A = área da seção (dada)
Então
sigmaP = 5000A[Pa]

Passo 3

Calcular a tensão normal devida à flexão bicomponente.
Teoria da flexão simples: para um momento M sobre um eixo neutro, a tensão na fibra a uma distância e é
sigmaM = -M,eI
Aqui temos dois momentos:
– M_y gira em torno do eixo y, gerando tensão em função de z_A:
sigmaMy = -,My,zAIy
o sinal “–” indica se A estiver acima ou abaixo do neutro, mas vamos manter a fórmula genérica.
– M_z gira em torno do eixo z, gerando tensão em função de y_A:
sigmaMz = +,Mz,yAIz

Passo 4

Somar as três contribuições de σ (axial + flexões).
sigmax = sigmaP + sigmaMy + sigmaMz = 5000A ;-;30,zAIy ;+;40,yAIz
Em que
– A, I_y, I_z, y_A e z_A são dados geométricos da seção e da posição de A.

Passo 5

Calcular a tensão de cisalhamento devida à força V.
Teoria da flexão cortante (cisalhamento):
tauxy(A) ;=; V,QAIz,b
– V = 800 N
– Q_A = momento estático da área acima (ou abaixo) de A em relação ao eixo neutro z
– b = largura da seção no nível de A
– I_z = momento de inércia em torno do eixo z
Logo
tauxy(A) = 800,QAIz,b

Passo 6

Montar o estado plano de tensão no ponto A.
Em coordenadas principais de material (eixos x–y no plano), temos:
sigmax = 5000A - 30,zAIy + 40,yAIz ; sigmay = 0 ; tauxy = 800,QAIz,b

Passo 7

Calcular a máxima tensão de cisalhamento no ponto (no plano).
Teoria de transformação de tensões (plano):
taumax = raizl(sigmax - sigmay2r)^2 + tauxy^2
Como σ_y = 0, fica
taumax = raizl(sigmax2r)^2 + l(800,QAIz,br)^2

Resposta

Expressando tudo em funções dos dados geométricos da seção no ponto A, temos:
  1. Tensão normal total boxed sigmax = 5000A ;-;30,zAIy ;+;40,yAIz
  2. Tensão de cisalhamento no ponto A boxed tauxy(A) = 800,QAIz,b
  3. Máxima tensão de cisalhamento no plano boxed taumax = raiz l(tfracsigmax2r)^2 + l(tfrac800,QAIz,br)^2
Pronto! Com essas fórmulas você só precisa inserir os valores de A, I_y, I_z, Q_A, b, y_A e z_A para obter os resultados numéricos.

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