Interprete e resolva a equação diferencial
sen
sujeita as seguintes condições
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
Informações relevantes dadas:
- É uma equação diferencial de segunda ordem.
- Os coeficientes são constantes.
- O termo do lado direito (forçante) é
.
O objetivo final é encontrarque satisfaça a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Tipo de solução que vamos usar: para equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo a solução geral é a soma da solução geral da equação homogênea e de uma solução particular:
Primeiro encontramos
, solução da equação homogênea associada:
Usamos a técnica do polinômio característico: substitui-se
e obtemos a equação para
:
Resolvendo:
Quando as raízes são
(aqui
), a solução homogênea é combinação de cosseno e seno com essa frequência:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para a equação completa
Explicação do método escolhido (coeficientes indeterminados): quando a forçante é uma combinação de senos e cossenos de frequência
, tenta-se um
da forma
, salvo casos de ressonância. Aqui a forçante tem
(pois
), enquanto a frequência natural da homogênea é
. Como
, não há ressonância e o palpite
é apropriado. Agora substituímos e determinamos
e
.
Calcule as derivadas:
Substituindo em
:
Devemos igualar isso à forçante
, isto é:
Comparando coeficientes de
e
:
Portanto
Passo 4
Escrevendo a solução geral como soma da homogênea com a particular:
Agora aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Passo 5
Usar
. Avaliando
em
:
Como
, segue
.
Agora usar
. Primeiro calcule
. Diferenciando termo a termo:
Somando:
Com
isso simplifica para
Avalie em
:
Como
, temos
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral:
Reescrevendo de forma mais compacta:
Pequeno comentário final: a resposta mostra uma combinação de oscilações forçadas em frequência
(termo
) e da resposta natural em frequência
(termo
). Como as frequências são diferentes, não houve ressonância.