Interprete e resolva a equação diferencial \frac{d^{2} x}{d t}+4 x=2 sen t sujeita as seguintes condições x(0)=0 e x^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 4x = 2\sin t
com as condições iniciais
x(0)=0,\qquad x'(0)=0.
Informações relevantes dadas:
  • É uma equação diferencial de segunda ordem.
  • Os coeficientes são constantes.
  • O termo do lado direito (forçante) é 2\sin t.
    O objetivo final é encontrar x(t) que satisfaça a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Tipo de solução que vamos usar: para equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo a solução geral é a soma da solução geral da equação homogênea e de uma solução particular:
x(t)=x_h(t)+x_p(t).
Primeiro encontramos x_h(t), solução da equação homogênea associada:
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+4x=0.
Usamos a técnica do polinômio característico: substitui-se x\sim e^{rt} e obtemos a equação para r:
r^{2}+4=0.
Resolvendo:
r^{2}=-4\quad\Rightarrow\quad r=\pm 2i.
Quando as raízes são \pm \omega i (aqui \omega=2), a solução homogênea é combinação de cosseno e seno com essa frequência:
x_h(t)=C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t),
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular x_p(t) para a equação completa
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+4x=2\sin t.
Explicação do método escolhido (coeficientes indeterminados): quando a forçante é uma combinação de senos e cossenos de frequência \nu, tenta-se um x_p da forma A\cos(\nu t)+B\sin(\nu t), salvo casos de ressonância. Aqui a forçante tem \nu=1 (pois \sin t), enquanto a frequência natural da homogênea é 2. Como 1\neq 2, não há ressonância e o palpite
x_p(t)=A\cos t + B\sin t
é apropriado. Agora substituímos e determinamos A e B.
Calcule as derivadas:
x_p''(t) = -A\cos t - B\sin t.
Substituindo em \;x_p''+4x_p:
x_p''+4x_p = (-A\cos t - B\sin t) + 4(A\cos t + B\sin t) = 3A\cos t + 3B\sin t.
Devemos igualar isso à forçante 2\sin t, isto é:
3A\cos t + 3B\sin t = 0\cdot\cos t + 2\cdot\sin t.
Comparando coeficientes de \cos t e \sin t:
3A = 0 \quad\Rightarrow\quad A=0,
3B = 2 \quad\Rightarrow\quad B=\frac{2}{3}.
Portanto
x_p(t)=\frac{2}{3}\sin t.

Passo 4

Escrevendo a solução geral como soma da homogênea com a particular:
x(t)=C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)+\frac{2}{3}\sin t.
Agora aplicamos as condições iniciais para encontrar C_{1} e C_{2}.

Passo 5

Usar x(0)=0. Avaliando x(t) em t=0:
x(0)=C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0 + \frac{2}{3}\sin 0 = C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 + 0 = C_{1}.
Como x(0)=0, segue C_{1}=0.
Agora usar x'(0)=0. Primeiro calcule x'(t). Diferenciando termo a termo:
\frac{d}{dt}\big(C_{1}\cos(2t)\big) = -2C_{1}\sin(2t),
\frac{d}{dt}\big(C_{2}\sin(2t)\big) = 2C_{2}\cos(2t),
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{2}{3}\sin t\right) = \frac{2}{3}\cos t.
Somando:
x'(t) = -2C_{1}\sin(2t) + 2C_{2}\cos(2t) + \frac{2}{3}\cos t.
Com C_{1}=0 isso simplifica para
x'(t)=2C_{2}\cos(2t)+\frac{2}{3}\cos t.
Avalie em t=0:
x'(0)=2C_{2}\cos 0 + \frac{2}{3}\cos 0 = 2C_{2} + \frac{2}{3}.
Como x'(0)=0, temos
2C_{2} + \frac{2}{3} = 0 \quad\Rightarrow\quad 2C_{2} = -\frac{2}{3} \quad\Rightarrow\quad C_{2} = -\frac{1}{3}.

Passo 6

Substituindo C_{1}=0 e C_{2}=-\dfrac{1}{3} na solução geral:
x(t)=0\cdot\cos(2t) -\frac{1}{3}\sin(2t) + \frac{2}{3}\sin t.
Reescrevendo de forma mais compacta:
x(t)=\frac{2}{3}\sin t - \frac{1}{3}\sin(2t)=\frac{1}{3}\big(2\sin t - \sin(2t)\big).
Pequeno comentário final: a resposta mostra uma combinação de oscilações forçadas em frequência 1 (termo \sin t) e da resposta natural em frequência 2 (termo \sin 2t). Como as frequências são diferentes, não houve ressonância.

Resposta

x(t)=\dfrac{2}{3}\sin t-\dfrac{1}{3}\sin(2t)

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