3 O conjugado hermitiano (ou adjunto) de um operador
é o operador
, tal que
(Um operador hermitiano, então, é igual ao seu conjugado hermitiano:
.)
(a) Calcule os conjugados hermitianos de
e
.
(b) Monte o conjugado hermitiano do operador de levantamento do oscilador harmônico,
(Equação 2.47 da Ref. [1] ).
(c) Demonstre que
.
(a) Calcule os conjugados hermitianos de
(b) Monte o conjugado hermitiano do operador de levantamento do oscilador harmônico,
(c) Demonstre que
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) calcular os conjugados hermitianos (adjuntos) de
, de e de ; - (b) montar (calcular) o conjugado hermitiano do operador de levantamento do oscilador harmônico
(usar a forma usual do operador de criação em termos de e ); - (c) demonstrar que
.
Informações e hipóteses relevantes que usarei (isto foi dado ou é padrão neste contexto):
- A definição do adjunto: para todo
e ,
- O produto interno no espaço de funções de posição será tomado como
com a hipótese habitual de que as funções físicas envolvidas fazem os termos de fronteira desaparecerem (por exemplo, funções que vão a zero nas fronteiras ou condições de contorno que anulam os termos de contorno).
- Usarei a representação canônica do momento:
, e o fato (a ser demostrado/justificado em (a)) de que sob as hipóteses de fronteira indicadas.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a):
. Quero provar que o adjunto do operador "multiplicação por
" é ele próprio.
Calculemos
usando a definição do produto interno:
Como
é real e atua apenas multiplicando, podemos passar
para a função conjugada:
Pela definição do adjunto, essa última integral é exatamente
. Portanto
o que, comparando com a definição, implica
Comentário didático rápido: multiplicar por uma função real (aqui
) é geralmente uma operação auto-adjunta, desde que a função seja real e os domínios estejam adequados.
Passo 3
Ainda na parte (a), agora
(o número imaginário, visto como operador
, onde
é identidade). Quero achar o adjunto de uma constante complexa multiplicando a identidade.
Seja
com
. Então para todo
,
Mas também podemos escrever
porque tirar o conjugado complexo do fator é equivalente a colocá-lo na primeira entrada do produto interno (lembre que o produto interno é conjugado-linear na primeira entrada). Assim, pelo mesmo raciocínio da definição do adjunto,
No caso particular
, temos
. Portanto
Comentário prático: o adjunto de um escalar multiplicativo é o conjugado complexo desse escalar.
Passo 4
Agora a parte mais importante de (a): o operador derivada
. Vou usar integração por partes para relacionar
com um produto interno na forma
.
Começo escrevendo explicitamente
onde
. Aplicando integração por partes:
O termo de fronteira
é assumido nulo pelas hipóteses físicas (funções desaparecem no infinito ou têm condições de contorno apropriadas). Então resta
Agora note que
. Então
Comparando com a definição do adjunto conclui-se
desde que os termos de fronteira desapareçam (condição de domínio importante: funções no domínio do operador adjunto devem anular o termo de contorno).
Comentário didático: a derivada é anti-hermitiana (ou skew-adjoint) na representação de posição, e é por isso que o momento, que tem um fator
multiplicando a derivada, fica hermitiano.
Passo 5
Fecho a parte (a) listando os resultados com explicação curta:
-
porque multiplicar por passa para a outra entrada sem conjugação extra (e é real). -
porque o adjunto de um escalar é o seu conjugado complexo. -
sob as hipóteses de contorno que anulem os termos de fronteira (integração por partes).
Passo 6
Agora parte (b): escrever o operador de levantamento
e calcular seu adjunto. Vou usar a forma padrão (equivalente à da Eq. 2.47 da maioria das referências):
onde
é o operador momento,
é a massa e
a frequência angular. (Observação: algumas referências trocam sinais e nomes
e
, mas esta é a forma usual em que
contém
.)
Antes de aplicar a adjunção, recapitulo propriedades úteis:
- constantes reais saem sem alteração do adjunto;
-
; - para produto por escalar complexo
, ; - do item (a),
e (mostrei que trocava sinal, então é hermitiano porque o dá o sinal que compensa).
Passo 7
Aplicando a definição do adjunto a
. O fator global
é real e positivo, logo permanece o mesmo ao adjuntar. Assim
Usando
e a regra para escalares:
(e lembre que
), e
(pois
é real e
). Portanto
Passo 8
Reconhecendo a expressão obtida: a expressão
é a forma usual do operador de aniquilação (ou operador de descida). Logo podemos escrever de forma curta
Comentário: como esperado, o adjunto do operador de levantamento (criação) é o operador de abaixamento (aniquilação), e vice-versa.
Passo 9
Finalmente a parte (c): demonstrar que
.
Começo com a definição do adjunto aplicada ao produto
. Para quaisquer
,
Vou transformar o lado esquerdo em duas etapas usando a definição do adjunto primeiro para
e depois para
. Primeiro, aplicar a definição de
com as funções
e
:
Agora aplicar a definição de
à última expressão:
Juntando as igualdades obtemos
Pelo caráter exclusivo do adjunto (ou seja, pela definição), o operador que satisfaz
para todo
é
. Comparando com a igualdade acima obtemos
Isto demonstra a propriedade desejada: o adjunto de um produto de operadores é o produto dos adjuntos em ordem reversa.
Observação sobre domínios: a prova formal exige atenção aos domínios dos operadores (para termos certeza de que
pertence ao domínio de
, etc.), mas a manipulação por produto interno é o argumento padrão e suficiente no contexto físico habitual.
Resposta
(a)
\
(a) \
(a) (sob condições de fronteira que anulam os termos de contorno) \
(b) \
(c)
(a)
(a)
(b)
(c)