3 O conjugado hermitiano (ou adjunto) de um operador \hat{Q} é o operador \hat{Q}^{\dagger}, tal que
\left.\langle f \mid \hat{Q} g\rangle=\left\langle\hat{Q}^{\dagger} f \mid g\right\rangle \quad \text { (para todo } f \text { e } g\right)
(Um operador hermitiano, então, é igual ao seu conjugado hermitiano: \hat{Q}=\hat{Q}^{\dagger}.)
(a) Calcule os conjugados hermitianos de x, i e d / d x.
(b) Monte o conjugado hermitiano do operador de levantamento do oscilador harmônico, a_{+}(Equação 2.47 da Ref. [1] ).
(c) Demonstre que (\hat{Q} \hat{R})^{\dagger}=\hat{R}^{\dagger} \hat{Q}^{\dagger}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) calcular os conjugados hermitianos (adjuntos) de x, de i e de d/dx;
  • (b) montar (calcular) o conjugado hermitiano do operador de levantamento do oscilador harmônico a_{+} (usar a forma usual do operador de criação em termos de x e p);
  • (c) demonstrar que (\hat{Q}\hat{R})^{\dagger}=\hat{R}^{\dagger}\hat{Q}^{\dagger}.
Informações e hipóteses relevantes que usarei (isto foi dado ou é padrão neste contexto):
  • A definição do adjunto: para todo f e g,
\langle f\mid \hat{Q} g\rangle=\langle \hat{Q}^{\dagger} f\mid g\rangle.
  • O produto interno no espaço de funções de posição será tomado como
\langle f\mid g\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} f^{*}(x)\, g(x)\, dx,
com a hipótese habitual de que as funções físicas envolvidas fazem os termos de fronteira desaparecerem (por exemplo, funções que vão a zero nas fronteiras ou condições de contorno que anulam os termos de contorno).
  • Usarei a representação canônica do momento: \displaystyle p=-i\hbar\frac{d}{dx}, e o fato (a ser demostrado/justificado em (a)) de que \left(\dfrac{d}{dx}\right)^{\dagger}=-\dfrac{d}{dx} sob as hipóteses de fronteira indicadas.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): x. Quero provar que o adjunto do operador "multiplicação por x" é ele próprio.
Calculemos \langle f\mid x g\rangle usando a definição do produto interno:
\langle f\mid x g\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} f^{*}(x)\, \big(x\, g(x)\big)\, dx.
Como x é real e atua apenas multiplicando, podemos passar x para a função conjugada:
\int_{-\infty}^{\infty} f^{*}(x)\, x\, g(x)\, dx=\int_{-\infty}^{\infty} \big(x\, f(x)\big)^{*}\, g(x)\, dx.
Pela definição do adjunto, essa última integral é exatamente \langle x f\mid g\rangle. Portanto
\langle f\mid x g\rangle=\langle x f\mid g\rangle,
o que, comparando com a definição, implica
x^{\dagger}=x.
Comentário didático rápido: multiplicar por uma função real (aqui x) é geralmente uma operação auto-adjunta, desde que a função seja real e os domínios estejam adequados.

Passo 3

Ainda na parte (a), agora i (o número imaginário, visto como operador i\hat{I}, onde \hat{I} é identidade). Quero achar o adjunto de uma constante complexa multiplicando a identidade.
Seja \hat{C}=c\hat{I} com c\in\mathbb{C}. Então para todo f,g,
\langle f\mid c g\rangle=\int f^{*}(x)\, c\, g(x)\, dx = c \int f^{*}(x)\, g(x)\, dx = c\, \langle f\mid g\rangle.
Mas também podemos escrever
\langle f\mid c g\rangle=\langle c^{*} f\mid g\rangle,
porque tirar o conjugado complexo do fator é equivalente a colocá-lo na primeira entrada do produto interno (lembre que o produto interno é conjugado-linear na primeira entrada). Assim, pelo mesmo raciocínio da definição do adjunto,
(c\hat{I})^{\dagger}=c^{*}\hat{I}.
No caso particular c=i, temos i^{*}=-i. Portanto
i^{\dagger}=-i.
Comentário prático: o adjunto de um escalar multiplicativo é o conjugado complexo desse escalar.

Passo 4

Agora a parte mais importante de (a): o operador derivada \dfrac{d}{dx}. Vou usar integração por partes para relacionar \langle f\mid \dfrac{d}{dx} g\rangle com um produto interno na forma \langle \text{algo}\cdot f\mid g\rangle.
Começo escrevendo explicitamente
\langle f\mid \frac{d}{dx} g\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} f^{*}(x)\, g'(x)\, dx,
onde g'(x)=\dfrac{d}{dx}g(x). Aplicando integração por partes:
\int_{-\infty}^{\infty} f^{*}\, g'\, dx = \left[f^{*}(x)\, g(x)\right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} (f^{*})'(x)\, g(x)\, dx.
O termo de fronteira \left[f^{*} g\right]_{-\infty}^{\infty} é assumido nulo pelas hipóteses físicas (funções desaparecem no infinito ou têm condições de contorno apropriadas). Então resta
\langle f\mid \frac{d}{dx} g\rangle = - \int_{-\infty}^{\infty} (f^{*})'(x)\, g(x)\, dx.
Agora note que (f^{*})'(x)=\big(f'(x)\big)^{*}. Então
- \int (f^{*})'(x)\, g(x)\, dx = - \int \big(f'(x)\big)^{*}\, g(x)\, dx = \langle -\frac{d}{dx} f \mid g\rangle.
Comparando com a definição do adjunto conclui-se
\left(\frac{d}{dx}\right)^{\dagger} = -\frac{d}{dx},
desde que os termos de fronteira desapareçam (condição de domínio importante: funções no domínio do operador adjunto devem anular o termo de contorno).
Comentário didático: a derivada é anti-hermitiana (ou skew-adjoint) na representação de posição, e é por isso que o momento, que tem um fator -i\hbar multiplicando a derivada, fica hermitiano.

Passo 5

Fecho a parte (a) listando os resultados com explicação curta:
  • x^{\dagger}=x porque multiplicar por x passa para a outra entrada sem conjugação extra (e x é real).
  • i^{\dagger}=-i porque o adjunto de um escalar é o seu conjugado complexo.
  • \displaystyle\left(\frac{d}{dx}\right)^{\dagger}=-\frac{d}{dx} sob as hipóteses de contorno que anulem os termos de fronteira (integração por partes).

Passo 6

Agora parte (b): escrever o operador de levantamento a_{+} e calcular seu adjunto. Vou usar a forma padrão (equivalente à da Eq. 2.47 da maioria das referências):
a_{+}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m \omega}}\big(-i\, p + m\omega\, x\big),
onde p=-i\hbar\,\dfrac{d}{dx} é o operador momento, m é a massa e \omega a frequência angular. (Observação: algumas referências trocam sinais e nomes a e a^{\dagger}, mas esta é a forma usual em que a_{+} contém -i p + m\omega x.)
Antes de aplicar a adjunção, recapitulo propriedades úteis:
  • constantes reais saem sem alteração do adjunto;
  • (A+B)^{\dagger}=A^{\dagger}+B^{\dagger};
  • para produto por escalar complexo c, (cA)^{\dagger}=c^{*}A^{\dagger};
  • do item (a), x^{\dagger}=x e p^{\dagger}=p (mostrei que d/dx trocava sinal, então p=-i\hbar d/dx é hermitiano porque o -i dá o sinal que compensa).

Passo 7

Aplicando a definição do adjunto a a_{+}. O fator global \dfrac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}} é real e positivo, logo permanece o mesmo ao adjuntar. Assim
a_{+}^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m \omega}}\big(-i\, p + m\omega\, x\big)^{\dagger}.
Usando (A+B)^{\dagger}=A^{\dagger}+B^{\dagger} e a regra para escalares:
\big(-i\, p\big)^{\dagger}=(-i)^{*}\, p^{\dagger}=i\, p
(e lembre que p^{\dagger}=p), e
\big(m\omega\, x\big)^{\dagger}=(m\omega)^{*}\, x^{\dagger}=m\omega\, x
(pois m\omega é real e x^{\dagger}=x). Portanto
a_{+}^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m \omega}}\big(i\, p + m\omega\, x\big).

Passo 8

Reconhecendo a expressão obtida: a expressão
a_{-}\equiv \frac{1}{\sqrt{2\hbar m \omega}}\big(i\, p + m\omega\, x\big)
é a forma usual do operador de aniquilação (ou operador de descida). Logo podemos escrever de forma curta
a_{+}^{\dagger}=a_{-}.
Comentário: como esperado, o adjunto do operador de levantamento (criação) é o operador de abaixamento (aniquilação), e vice-versa.

Passo 9

Finalmente a parte (c): demonstrar que (\hat{Q}\hat{R})^{\dagger}=\hat{R}^{\dagger}\hat{Q}^{\dagger}.
Começo com a definição do adjunto aplicada ao produto \hat{Q}\hat{R}. Para quaisquer f,g,
\langle f\mid \hat{Q}\hat{R}\, g\rangle = \langle (\hat{Q}\hat{R})^{\dagger} f\mid g\rangle.
Vou transformar o lado esquerdo em duas etapas usando a definição do adjunto primeiro para \hat{Q} e depois para \hat{R}. Primeiro, aplicar a definição de \hat{Q}^{\dagger} com as funções f e \hat{R}g:
\langle f\mid \hat{Q}(\hat{R}g)\rangle = \langle \hat{Q}^{\dagger} f\mid \hat{R} g\rangle.
Agora aplicar a definição de \hat{R}^{\dagger} à última expressão:
\langle \hat{Q}^{\dagger} f\mid \hat{R} g\rangle = \langle \hat{R}^{\dagger}\hat{Q}^{\dagger} f\mid g\rangle.
Juntando as igualdades obtemos
\langle f\mid \hat{Q}\hat{R}\, g\rangle = \langle \hat{R}^{\dagger}\hat{Q}^{\dagger} f\mid g\rangle.
Pelo caráter exclusivo do adjunto (ou seja, pela definição), o operador que satisfaz \langle f\mid \hat{Q}\hat{R}\, g\rangle = \langle X f\mid g\rangle para todo f,g é X=(\hat{Q}\hat{R})^{\dagger}. Comparando com a igualdade acima obtemos
(\hat{Q}\hat{R})^{\dagger} = \hat{R}^{\dagger}\hat{Q}^{\dagger}.
Isto demonstra a propriedade desejada: o adjunto de um produto de operadores é o produto dos adjuntos em ordem reversa.
Observação sobre domínios: a prova formal exige atenção aos domínios dos operadores (para termos certeza de que \hat{R}g pertence ao domínio de \hat{Q}, etc.), mas a manipulação por produto interno é o argumento padrão e suficiente no contexto físico habitual.

Resposta

(a) x^{\dagger}=x \
(a) i^{\dagger}=-i \
(a) \displaystyle\left(\frac{d}{dx}\right)^{\dagger}=-\frac{d}{dx} (sob condições de fronteira que anulam os termos de contorno) \
(b) \displaystyle a_{+}^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\big(i\, p + m\omega\, x\big)=a_{-} \
(c) \displaystyle (\hat{Q}\hat{R})^{\dagger}=\hat{R}^{\dagger}\hat{Q}^{\dagger}

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