Suponha que 12 \% da população de São Carlos estejam infectados por um tipo de vírus. Se num ambulatório do S.U.S. chegarem 25 pessoas:
a) Identifique a distribuição associada e os seus parâmetros.
b) Qual o número esperado de infectados nos 25 pacientes?
c) Qual a probabilidade de que exatamente 5 sejam portadores?
d) Qual a probabilidade de que pelo menos um seja portador?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informações dadas:
    • A proporção (probabilidade) de pessoas infectadas na população é 0,12 (ou seja 12\%).
    • Chegam 25 pessoas no ambulatório — ou seja, observamos uma amostra de tamanho 25.
  • Perguntas:
    a) Identificar a distribuição associada e os seus parâmetros.
    b) Calcular o número esperado de infectados entre as 25 pessoas.
    c) Calcular a probabilidade de que exatamente 5 sejam portadores.
    d) Calcular a probabilidade de que pelo menos um seja portador.

Passo 2

Por que modelar isso com uma distribuição discreta de contagem (e qual)?
Vamos pensar nas características do problema (isso é importante para escolher o modelo certo):
  • Temos um número fixo de ensaios (pessoas): n=25.
  • Cada pessoa pode ser classificada em apenas duas categorias relevantes: infectado ou não infectado (sucesso/fracasso).
  • Vamos assumir que a probabilidade de uma pessoa ser infectada é a mesma para cada pessoa e vale p=0,12.
  • Supondo que as ocorrências entre pessoas sejam (aproximadamente) independentes — condição razoável se a amostra for pequena comparada à população ou se as chegadas forem praticamente independentes.
Essas quatro condições (n fixo, dois resultados, probabilidade constante, independência) são exatamente as que definem um modelo de contagem de sucessos em ensaios independentes idênticos. Portanto vamos usar a distribuição adequada a esse contexto (a seguir eu explico qual e por quê).

Passo 3

Definição e parâmetros da distribuição (explicando o que cada símbolo significa)
  • Se X for a variável aleatória que conta o número de infectados entre as 25 pessoas, então X segue a distribuição binomial com parâmetros n e p. Escreve-se
X \sim \mathrm{Bin}(n,p).
Aqui:
  • n é o número de ensaios (aqui n=25).
  • p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui sucesso = pessoa infectada, p=0,12).
A função de probabilidade (pmf) da binomial dá a probabilidade de exatamente k sucessos:
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de formas de escolher k sucessos entre n).
Também é útil saber a esperança (valor esperado) e a variância da binomial:
\mathbb{E}[X]=n p,\qquad \mathrm{Var}(X)=n p(1-p).
Aqui \mathbb{E}[X] é o número médio esperado de infectados e \mathrm{Var}(X) mede a dispersão.

Passo 4

Resposta à letra (a): colocar os parâmetros numéricos
Pelo que vimos,
X\sim \mathrm{Bin}\bigl(n=25,\;p=0,12\bigr).

Passo 5

Calcular o número esperado (letra b) — explicando a fórmula e aplicando
Fórmula:
\mathbb{E}[X]=n p.
Significado: em n ensaios cada um tem esperança p de sucesso, somando dá n p.
Aplicando os valores:
\mathbb{E}[X]=25\cdot 0,12=3.
Interpretação: em média espera-se encontrar 3 infectados entre as 25 pessoas.

Passo 6

Calcular a probabilidade de exatamente 5 infectados (letra c) — usar a pmf e desenvolver as contas
Usamos a pmf binomial com n=25, p=0,12 e k=5:
\Pr(X=5)=\binom{25}{5}\,(0,12)^{5}\,(1-0,12)^{25-5}.
Primeiro calcule o coeficiente binomial:
\binom{25}{5}=\frac{25\cdot24\cdot23\cdot22\cdot21}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=53130.
Agora as potências:
(0,12)^{5}=0,12^{5}=0,0000248832.
(1-0,12)^{20}=0,88^{20}.
Para calcular 0,88^{20} sem uma calculadora de mão, um caminho prático é usar logaritmos: \ln(0,88)\approx -0,127833. Multiplicando por 20 -2,55666. Exponenciando:
0,88^{20}=e^{20\ln(0,88)}\approx e^{-2,55666}\approx 0,0776.
(Esse procedimento é apenas uma forma de obter a potência; quem usar calculadora pode calcular diretamente.)
Agora multiplicamos tudo:
\Pr(X=5)=53130\times 0,0000248832\times 0,0776.
Fazendo as multiplicações em etapas:
53130\times 0,0000248832\approx 1,322044416,
1,322044416\times 0,0776\approx 0,1025906.
Portanto, aproximadamente
\Pr(X=5)\approx 0,1026.
Interpretação: cerca de 10{,}26\% de chance de exatamente 5 das 25 pessoas serem portadoras.

Passo 7

Calcular a probabilidade de que pelo menos um seja portador (letra d) — método e cálculo
“Pelo menos um” é evento complementar de “nenhum”. Se X é o número de infectados,
\Pr(X\ge 1)=1-\Pr(X=0).
Usando a pmf binomial,
\Pr(X=0)=\binom{25}{0}(0,12)^{0}(0,88)^{25}=0,88^{25}.
Podemos aproveitar o valor calculado de 0,88^{20} e multiplicar por 0,88^{5} para obter 0,88^{25}:
0,88^{5}\approx 0,5277315,\qquad 0,88^{25}=0,88^{20}\cdot 0,88^{5}\approx 0,0776\cdot 0,5277315\approx 0,04095.
Logo
\Pr(X\ge 1)=1-0,88^{25}\approx 1-0,04095\approx 0,95905.
Arredondando,
\Pr(X\ge 1)\approx 0,9591.
Interpretação: há cerca de 95{,}91\% de chance de aparecer pelo menos um infectado entre as 25 pessoas.

Passo 8

Resumo final e observações rápidas (motivação e checagem mental)
  • Modelo: binomial, pois temos contagem de sucessos em n ensaios independentes com probabilidade fixa.
  • O valor esperado 3 faz sentido: 25 pessoas vezes 12\% 3.
  • A probabilidade de exatamente 5 ser um pouco acima de 10\% é compatível com a média 3 (5 é um pouco acima da média, ainda razoavelmente provável).
  • A probabilidade de pelo menos um ser portador é alta ( \approx 96\%), porque com 25 tentativas e 12\% de sucesso cada, é bastante provável que ocorra ao menos um sucesso.

Resposta

a) X\sim \mathrm{Bin}\bigl(n=25,\;p=0,12\bigr).
b) \mathbb{E}[X]=3.
c) \Pr(X=5)\approx 0,1026.
d) \Pr(X\ge 1)=1-0,88^{25}\approx 0,9591.

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