Suponha que
da população de São Carlos estejam infectados por um tipo de vírus. Se num ambulatório do S.U.S. chegarem 25 pessoas:
a) Identifique a distribuição associada e os seus parâmetros.
b) Qual o número esperado de infectados nos 25 pacientes?
c) Qual a probabilidade de que exatamente 5 sejam portadores?
d) Qual a probabilidade de que pelo menos um seja portador?
a) Identifique a distribuição associada e os seus parâmetros.
b) Qual o número esperado de infectados nos 25 pacientes?
c) Qual a probabilidade de que exatamente 5 sejam portadores?
d) Qual a probabilidade de que pelo menos um seja portador?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
-
Informações dadas:
- A proporção (probabilidade) de pessoas infectadas na população é
(ou seja ). - Chegam
pessoas no ambulatório — ou seja, observamos uma amostra de tamanho .
- A proporção (probabilidade) de pessoas infectadas na população é
-
Perguntas:
a) Identificar a distribuição associada e os seus parâmetros.
b) Calcular o número esperado de infectados entre aspessoas.
c) Calcular a probabilidade de que exatamentesejam portadores.
d) Calcular a probabilidade de que pelo menos um seja portador.
Passo 2
Por que modelar isso com uma distribuição discreta de contagem (e qual)?
Vamos pensar nas características do problema (isso é importante para escolher o modelo certo):
- Temos um número fixo de ensaios (pessoas):
. - Cada pessoa pode ser classificada em apenas duas categorias relevantes: infectado ou não infectado (sucesso/fracasso).
- Vamos assumir que a probabilidade de uma pessoa ser infectada é a mesma para cada pessoa e vale
. - Supondo que as ocorrências entre pessoas sejam (aproximadamente) independentes — condição razoável se a amostra for pequena comparada à população ou se as chegadas forem praticamente independentes.
Essas quatro condições (n fixo, dois resultados, probabilidade constante, independência) são exatamente as que definem um modelo de contagem de sucessos em ensaios independentes idênticos. Portanto vamos usar a distribuição adequada a esse contexto (a seguir eu explico qual e por quê).
Passo 3
Definição e parâmetros da distribuição (explicando o que cada símbolo significa)
- Se
for a variável aleatória que conta o número de infectados entre as pessoas, então segue a distribuição binomial com parâmetros e . Escreve-se
Aqui:
-
é o número de ensaios (aqui ). -
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui sucesso = pessoa infectada, ).
A função de probabilidade (pmf) da binomial dá a probabilidade de exatamente
sucessos:
onde
é o coeficiente binomial (número de formas de escolher
sucessos entre
).
Também é útil saber a esperança (valor esperado) e a variância da binomial:
Aqui
é o número médio esperado de infectados e
mede a dispersão.
Passo 4
Resposta à letra (a): colocar os parâmetros numéricos
Pelo que vimos,
Passo 5
Calcular o número esperado (letra b) — explicando a fórmula e aplicando
Fórmula:
Significado: em
ensaios cada um tem esperança
de sucesso, somando dá
.
Aplicando os valores:
Interpretação: em média espera-se encontrar
infectados entre as
pessoas.
Passo 6
Calcular a probabilidade de exatamente
infectados (letra c) — usar a pmf e desenvolver as contas
Usamos a pmf binomial com
,
e
:
Primeiro calcule o coeficiente binomial:
Agora as potências:
Para calcular
sem uma calculadora de mão, um caminho prático é usar logaritmos:
. Multiplicando por
dá
. Exponenciando:
(Esse procedimento é apenas uma forma de obter a potência; quem usar calculadora pode calcular diretamente.)
Agora multiplicamos tudo:
Fazendo as multiplicações em etapas:
Portanto, aproximadamente
Interpretação: cerca de
de chance de exatamente
das
pessoas serem portadoras.
Passo 7
Calcular a probabilidade de que pelo menos um seja portador (letra d) — método e cálculo
“Pelo menos um” é evento complementar de “nenhum”. Se
é o número de infectados,
Usando a pmf binomial,
Podemos aproveitar o valor calculado de
e multiplicar por
para obter
:
Logo
Arredondando,
Interpretação: há cerca de
de chance de aparecer pelo menos um infectado entre as
pessoas.
Passo 8
Resumo final e observações rápidas (motivação e checagem mental)
- Modelo: binomial, pois temos contagem de sucessos em
ensaios independentes com probabilidade fixa. - O valor esperado
faz sentido: pessoas vezes dá . - A probabilidade de exatamente
ser um pouco acima de é compatível com a média (5 é um pouco acima da média, ainda razoavelmente provável). - A probabilidade de pelo menos um ser portador é alta (
), porque com tentativas e de sucesso cada, é bastante provável que ocorra ao menos um sucesso.
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)