\begin{aligned} & h(x)=\left\{\begin{array}{l} x-x^{2}, \text { se } x \leq 0 \\\ x^{2}+2 x, \text { se } x>0 \end{array} \quad f(x)=x^{3}+7 x+3,\right. \\\ & p(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x}, \text { se } x<0 \\\ \sqrt{x}, \text { se } x \geq 0 \end{array} \quad \text { e } \quad g(x)=\frac{x+1}{x^{4}+1} .\right. \end{aligned}
Quantas delas são contínuas em toda a reta real?
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4
Passo 1
O enunciado dá quatro funções e pede: quantas delas são contínuas em toda a reta real?
As funções fornecidas são (copiadas do enunciado):
\begin{aligned} & h(x)=\left\{\begin{array}{l} x-x^{2}, \text{ se } x \leq 0,\\[4pt] x^{2}+2x, \text{ se } x>0, \end{array}\right.\\[6pt] & f(x)=x^{3}+7x+3,\\[6pt] & p(x)=\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{x}, \text{ se } x<0,\\[6pt] \sqrt{x}, \text{ se } x\geq 0, \end{array}\right.\\[6pt] & g(x)=\dfrac{x+1}{x^{4}+1}. \end{aligned}
Informações relevantes que já vejo no enunciado (úteis para testar continuidade):
f(x) é um polinômio dado por x^{3}+7x+3.
g(x) é uma função racional com denominador x^{4}+1.
h(x) é definida por partes, com mudança na definição em x=0.
p(x) é definida por partes (hipérbole à esquerda e raiz quadrada à direita) com mudança em x=0.]
Passo 2
Definição e estratégia (passo didático curto antes de calcular):
Uma função F é contínua num ponto a se
\lim_{x\to a}F(x)=F(a).
Para funções definidas por partes, é suficiente verificar continuidade dentro de cada ramo (cada ramo costuma ser contínuo se for polinomial, racional sem zeros no denominador, raiz etc.) e, crucialmente, verificar o ponto(s) onde a definição muda (aqui: x=0 para h e p).
Para decidir se uma função é contínua em toda a reta, confirmo que ela é contínua em todo número real; isto normalmente exige checar os pontos de “potencial problema” (discontinuidades óbvias ou pontos de troca de definição).
Passo 3
Analisando f(x)=x^{3}+7x+3.
Por que isto é simples: polinômios são construídos por soma e produto das potências de x. Cada operação soma, produto e potência preserva continuidade, e as potências x\mapsto x^{n} são contínuas para todo x.
Logo, f é contínua para todo x\in\mathbb{R}. Em palavras: não há nenhum ponto especial onde a fórmula falhe — polinômios são contínuos em toda a reta.
Passo 4
Analisando g(x)=\dfrac{x+1}{x^{4}+1}.
Pontos a verificar: denominador pode ser zero? Calculo
x^{4}\ge 0\quad\text{para todo }x,
então
x^{4}+1\ge 1>0.
Portanto o denominador nunca zera para nenhum x\in\mathbb{R}. Como numerador e denominador são funções polinomiais (contínuas) e o denominador não é zero, a razão é contínua em toda a reta.
Primeiro: cada ramo é um polinômio, logo contínuo em seu intervalo de definição aberto relativo: x-x^{2}\] contínuo em \((-\infty,0] e x^{2}+2x contínuo em (0,\infty).
Falta testar x=0 (ponto onde a definição muda). Para verificar continuidade em 0 preciso checar:
Primeiro observação: em qualquer ponto x<0\], a função \(\dfrac{1}{x} é contínua (hipérbole sem problema dentro de (-\infty,0)). Em qualquer ponto x>0, \sqrt{x} é contínua (raiz quadrada contínua em [0,\infty)). O único ponto que pode causar problema é x=0, onde a definição muda.
Verifiquemos x=0:
Valor em 0: pela regra x\ge 0, temos
p(0)=\sqrt{0}=0.
Limite pela direita:
\lim_{x\to 0^+}p(x)=\lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}=0.
Limite pela esquerda:
\lim_{x\to 0^-}p(x)=\lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x}.
Aqui, quando x tende a 0 por valores negativos muito pequenos, \dfrac{1}{x} tende a -\infty. Em notação:
\lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty,
ou seja, não existe limite finito pela esquerda.
Como o limite pela esquerda não é um número finito (nem coincide com o valor p(0)=0), a função não é contínua em x=0.
Portanto p não é contínua em toda a reta (tem uma descontinuidade em 0).]
Passo 7
Contagem final:
f é contínua em \mathbb{R}.
g é contínua em \mathbb{R}.
h é contínua em \mathbb{R}.
p não é contínua em \mathbb{R} (falha em 0).
Logo, três das quatro funções são contínuas em toda a reta real.