Considere uma partícula de massa m sujeita a uma força
F(t)=K t
Desconsidere a força de arrasto.
Determine as equações da posição x(t), velocidade v(t) e aceleração a(t). Considere as seguintes condições de contorno:
v(t=0)=0 ; x(t=0)=0

Passo 1

Beleza, o problema diz que temos uma partícula de massa sujeita a uma força que varia com o tempo, . A tarefa é achar, a partir daí, as três funções do movimento:
  • Aceleração
  • Velocidade
  • Posição
Tudo isso usando as condições iniciais e .
O que vamos precisar:
  1. A Segunda Lei de Newton: .
  2. Noção de integração para transformar aceleração em velocidade e velocidade em posição.
  3. Ajustar as constantes de integração usando as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, usamos Newton:
F(t)=m,a(t),
Como m,a(t)=K,t Longrightarrow a(t)=K,tm, , temos
Pronto, já temos a aceleração como função do tempo.

Passo 3

Agora, velocidade é a “antiderivada” da aceleração. Ou seja, integra
a(t)=Km,t
para achar v(t)=integral a(t),dt =integral Km,t,dt =Km,t^22+C1 =K,t^22m+C1 :
v(0)=Kcdot0^22m+C1=0 ;Longrightarrow; C1=0
Para achar boxedv(t)=K,t^22m , usamos :
Então

Passo 4

Por fim, a posição é a integral da velocidade. Integramos
v(t)=K2m,t^2
para achar x(t)=integral v(t),dt =integral K2m,t^2,dt =K2m,t^33+C2 =K,t^36m+C2 :
x(0)=Kcdot0^36m+C2=0 ;Longrightarrow; C2=0
Usando boxedx(t)=K,t^36m :
Então

Resposta

a)
b)
c)

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