Uma dada partícula de massa m é submetida a uma força:
F(t)=Fo e^K t
Determine a(t), v(t) e x(t) a partir das seguintes condições de contorno:
v(t=0)=0 ; x(t=0)=x o

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e o que a gente vai usar pra resolver.
Enunciado: uma partícula de massa F(t)=F0,e^K t sofre uma força que cresce exponencialmente no tempo,
v(0)=0, x(0)=x0
Precisamos encontrar
  • : aceleração,
  • : velocidade,
  • : posição,
sabendo que, no instante ,
Conteúdo/matéria: física básica (Segunda Lei de Newton), cálculo (derivadas e integrais).
O que precisamos:
  1. Relação para achar .
  2. Integrar pra achar e usar pra fixar a constante.
  3. Integrar pra achar e usar pra achar a outra constante.

Passo 2

Primeiro, a gente usa a Segunda Lei de Newton:
F(t)=m,a(t)
Logo, aceleração é força sobre massa:
a(t)=F(t)m = F0m,e^K t
Pronto, achamos .

Passo 3

Agora, sabemos que aceleração é a derivada da velocidade:
a(t)=dvdt
Então basta integrar v(t)=integral a(t),dt = integral F0me^K t,dt :
v(t)=F0m,1K,e^K t + C1 =F0mKe^K t+C1
Fazendo a integral:
0 = v(0) = F0mKe^0 + C1 Longrightarrow C1 = -F0mK
Usamos a condição inicial boxedv(t)=F0mKl(e^K t-1r) :
Logo

Passo 4

Por fim, velocidade é derivada da posição:
v(t)=dxdt
Integramos x(t)=integral v(t),dt =integral F0mKl(e^K t-1r),dt para achar x(t)=F0mKl[integral e^K tdt - integral 1,dtr] =F0mKl[1Ke^K t - tr] + C2 :
x(t)=F0mK^2,e^K t ;-;F0mK,t + C2
Separamos em duas integrais:
x0 = x(0) = F0mK^2e^0 - F0mKcdot0 + C2 ;Longrightarrow; C2 = x0 - F0mK^2
Então
boxed x(t) =F0mK^2,e^K t -F0mK,t +l(x0 - F0mK^2r)
Agora a condição x(t)=x0 + F0mK^2l(e^K t-1r) ;-;F0mK,t :
Substituindo em :
Ou, agrupando termos do tipo constante:

Resposta

a)
b)
c)

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