Em um corpo sólido, as seis componentes da tensão em um ponto são dadas por: . Determine a tensão normal no ponto, em um plano para o qual o vetor normal é . (Dica: observe que a tensão normal ).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Mecânica dos Sólidos, especificamente sobre tensão em um ponto de um corpo sólido. A missão aqui é descobrir a tensão normal em um plano específico, dado um vetor normal. Para isso, vamos precisar usar as componentes da tensão fornecidas e aplicar umas fórmulas que relacionam essas componentes com o vetor normal.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar todas as componentes da tensão que foram dadas:
E também o vetor normal do plano em questão:
Passo 3
Agora, vamos entender o que é a tensão normal. A tensão normal () é a força por unidade de área que atua perpendicularmente ao plano considerado. Para calcular isso, usamos a fórmula que relaciona a tensão normal com as componentes da tensão e o vetor normal:
Aqui, , e são as componentes do vetor tração na direção das coordenadas , e , respectivamente.
Passo 4
Para encontrar , e , usamos as componentes da tensão fornecidas. O vetor tração é dado por:
Vamos calcular cada uma dessas:
Calculando Tx:
Tx = sigmax nx + tauxy ny + tauxz nz = 40 times 12 + 10 times 12 + 15 times 1raiz2
Calculando Ty:
Ty = tauxy nx + sigmay ny + tauyz nz = 10 times 12 + 20 times 12 + (-30) times 1raiz2
Calculando Tz:
Tz = tauxz nx + tauyz ny + sigmaz nz = 15 times 12 + (-30) times 12 + 30 times 1raiz2
Passo 5
Vamos resolver cada uma dessas contas passo a passo:
Para Tx:
Tx = 40 times 12 + 10 times 12 + 15 times 1raiz2 = 20 + 5 + 15raiz2 approx 20 + 5 + 10.606 = 35.606, MPa
Para Ty:
Ty = 10 times 12 + 20 times 12 + (-30) times 1raiz2 = 5 + 10 - 30raiz2 approx 5 + 10 - 21.213 = -6.213, MPa
Para Tz:
Tz = 15 times 12 + (-30) times 12 + 30 times 1raiz2 = 7.5 - 15 + 30raiz2 approx 7.5 - 15 + 21.213 = 13.713, MPa
Passo 6
Agora que temos Tx, Ty e Tz, vamos usar a fórmula da tensão normal:
sigman = Tx nx + Ty ny + Tz nz
Substituindo os valores:
sigman = 35.606 times 12 + (-6.213) times 12 + 13.713 times 1raiz2 approx 17.803 - 3.106 + 9.696 = 24.393, MPa
Resposta
A tensão normal no plano especificado é aproximadamente 24,39 MPa.