Se um campo de deslocamento é descrito por:
u=(-x^2+2 y^2+6 x y) times 10^-4 v=(-3 x+6 y-y^2) times 10^-4
Determine epsilonx, epsilony, gammax y no ponto x=1, y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de deslocamento dado pelas funções e em termos de e . Nosso objetivo é encontrar os componentes de deformação , e no ponto onde e . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais das funções de deslocamento, que nos ajudam a entender como a matéria está se deformando nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar u = (-x^2 + 2 y^2 + 6 x y) times 10^-4 , que é a derivada parcial de partial upartial x = (-2x + 6y) times 10^-4 em relação a epsilonx = (-2(1) + 6(0)) times 10^-4 = -2 times 10^-4 . A função é dada por:
Para achar , derivamos cada termo de em relação a :
Agora, substituímos e :

Passo 3

Agora, vamos calcular v = (-3x + 6y - y^2) times 10^-4 , que é a derivada parcial de partial vpartial y = (6 - 2y) times 10^-4 em relação a epsilony = (6 - 2(0)) times 10^-4 = 6 times 10^-4 . A função é dada por:
Derivando em relação a :
Substituindo e :

Passo 4

Por último, vamos encontrar partial upartial y = (4y + 6x) times 10^-4 , que é a soma das derivadas parciais de partial vpartial x = (-3) times 10^-4 em relação a gammaxy = (4(0) + 6(1)) times 10^-4 + (-3) times 10^-4 = (6 - 3) times 10^-4 = 3 times 10^-4 e de em relação a . Começamos calculando :
E depois :
Agora, somamos essas duas derivadas:

Resposta

No ponto epsilonx = -2 times 10^-4, epsilony = 6 times 10^-4, gammaxy = 3 times 10^-4 e , os componentes de deformação são:

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