Se num cruzamento passam veículos numa taxa de 2 a cada minuto, determine:
Se no cruzamento for colocado um farol com tempo de 20 segundos, quantos carros em média ficarão esperando o farol abrir?
Se no cruzamento for colocado um farol com tempo de 20 segundos, quantos carros em média ficarão esperando o farol abrir?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: a taxa média de chegada de veículos é
veículos por minuto (peguei isso do enunciado). - Dado: o farol fica fechado (vermelho) por
segundos cada vez (peguei isso do enunciado). - Pergunta: quantos carros, em média, estarão esperando o farol abrir (isto é, qual é o número médio de veículos acumulados durante o tempo vermelho)?
Passo 2
Modelo e justificativa (a “aula” curta sobre o modelo):
- Quando o enunciado informa uma taxa constante do tipo “2 a cada minuto”, o modelo natural e simples é o processo de Poisson para chegadas: supõe-se chegadas aleatórias, independentes e com taxa média constante no tempo.
- Propriedade útil do processo de Poisson: o número de chegadas em um intervalo de tempo de comprimento
tem distribuição de Poisson com parâmetro . Em particular, a esperança (média) desse número é
onde
é a taxa de chegadas por unidade de tempo e
é a duração do intervalo.
- Intuição simples: se em média chegam
carros por minuto, em um terço de minuto chegarão em média vezes esse terço. Essa é a razão pela qual usamos .
Passo 3
Converter unidades para usar a mesma unidade de tempo:
- A taxa está em minutos:
veículos por minuto. - O tempo do farol é
segundos. Converter para minutos:
Passo 4
Aplicar a fórmula da esperança para o número de chegadas no intervalo vermelho:
- Pelo modelo de Poisson,
- Substituindo
e :
Passo 5
Interpretação didática e comentário prático:
- A média
significa que, em longas repetições do mesmo experimento, o número médio de carros esperando quando o farol abre é dois terços de carro — isto é, menos de um carro em média. - Isso não quer dizer que sempre haverá fração de carro; na prática o número é inteiro (0, 1, 2, …). No modelo de Poisson com média
, por exemplo, a probabilidade de não haver nenhum carro esperando é
ou seja, aproximadamente
das vezes não vem ninguém durante os
segundos. Essas informações ajudam a entender que
é uma média estatística, não um valor observado a cada ciclo.