Se num cruzamento passam veículos numa taxa de 2 a cada minuto, determine:
Se no cruzamento for colocado um farol com tempo de 20 segundos, quantos carros em média ficarão esperando o farol abrir?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a taxa média de chegada de veículos é \lambda = 2 veículos por minuto (peguei isso do enunciado).
  • Dado: o farol fica fechado (vermelho) por 20 segundos cada vez (peguei isso do enunciado).
  • Pergunta: quantos carros, em média, estarão esperando o farol abrir (isto é, qual é o número médio de veículos acumulados durante o tempo vermelho)?

Passo 2

Modelo e justificativa (a “aula” curta sobre o modelo):
  • Quando o enunciado informa uma taxa constante do tipo “2 a cada minuto”, o modelo natural e simples é o processo de Poisson para chegadas: supõe-se chegadas aleatórias, independentes e com taxa média constante no tempo.
  • Propriedade útil do processo de Poisson: o número de chegadas em um intervalo de tempo de comprimento T tem distribuição de Poisson com parâmetro \lambda T. Em particular, a esperança (média) desse número é
\mathbb{E}[N(T)] = \lambda T,
onde \lambda é a taxa de chegadas por unidade de tempo e T é a duração do intervalo.
  • Intuição simples: se em média chegam \lambda carros por minuto, em um terço de minuto chegarão em média \lambda vezes esse terço. Essa é a razão pela qual usamos \mathbb{E}[N(T)]=\lambda T.

Passo 3

Converter unidades para usar a mesma unidade de tempo:
  • A taxa está em minutos: \lambda = 2 veículos por minuto.
  • O tempo do farol é 20 segundos. Converter para minutos:
T = \frac{20\\ \text{segundos}}{60\\ \text{segundos/minuto}} = \frac{1}{3}\\ \text{minuto}.

Passo 4

Aplicar a fórmula da esperança para o número de chegadas no intervalo vermelho:
  • Pelo modelo de Poisson,
\mathbb{E}[N] = \lambda T.
  • Substituindo \lambda = 2 e T=\dfrac{1}{3}:
\mathbb{E}[N] = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.

Passo 5

Interpretação didática e comentário prático:
  • A média \dfrac{2}{3} significa que, em longas repetições do mesmo experimento, o número médio de carros esperando quando o farol abre é dois terços de carro — isto é, menos de um carro em média.
  • Isso não quer dizer que sempre haverá fração de carro; na prática o número é inteiro (0, 1, 2, …). No modelo de Poisson com média \dfrac{2}{3}, por exemplo, a probabilidade de não haver nenhum carro esperando é
\mathbb{P}(N=0)=e^{-\tfrac{2}{3}}\approx 0,5134,
ou seja, aproximadamente 51{,}3\% das vezes não vem ninguém durante os 20 segundos. Essas informações ajudam a entender que \dfrac{2}{3} é uma média estatística, não um valor observado a cada ciclo.

Resposta

\dfrac{2}{3} carro em média \approx 0,6667 carros

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