Se num cruzamento passam veículos numa taxa de 2 a cada minuto, determine:
A probabilidade de que em 4 minutos passem exatamente 10 veículos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • Taxa média de passagem de veículos: \,2 veículos por minuto.
  • Intervalo de tempo considerado: 4 minutos.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que, em 4 minutos, passem exatamente 10 veículos?

Passo 2

Escolher o modelo probabilístico adequado (explicação didática):
Quando eventos (veículos) ocorrem de forma independente e com taxa média constante no tempo, o número de ocorrências em um intervalo fixo de tempo segue a distribuição de Poisson. Nessa distribuição a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos em um intervalo é dada por uma fórmula simples (vou apresentar e explicar no próximo passo).

Passo 3

Apresentar e explicar a fórmula da distribuição de Poisson:
A probabilidade de ocorrer exatamente k eventos é
P(N=k)=e^{-\mu}\frac{\mu^{k}}{k!},
onde:
  • \mu é o valor esperado (média) do número de eventos no intervalo considerado;
  • k é o número de eventos que queremos (aqui k=10);
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2{,}71828);
  • k! é o fatorial de k (produto k\cdot(k-1)\cdots1).
    Essa fórmula vem das propriedades do processo de Poisson — não precisa decorar, basta lembrar: média \mu= taxa \times tempo e usar a expressão acima.

Passo 4

Calcular a média \mu para o intervalo de 4 minutos:
A taxa é 2 veículos/min e o tempo é 4 min, então
\mu = 2 \times 4 = 8.

Passo 5

Aplicar a fórmula com \mu=8 e k=10:
P(N=10)=e^{-8}\frac{8^{10}}{10!}.
Aqui cada símbolo significa o que expliquei antes: \mu=8, k=10.

Passo 6

Calcular o numerador e o denominador de forma exata (para quem gosta de ver a conta):
  • 8^{10} = (2^3)^{10} = 2^{30} = 1\,073\,741\,824.
  • 10! = 10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 3\,628\,800.
    Logo
\frac{8^{10}}{10!}=\frac{1\,073\,741\,824}{3\,628\,800}=\frac{4\,194\,304}{14\,175}\approx295{,}894907\ldots
(na linha anterior simplificou-se 2^{30}/10! até obter a fração mais simples).

Passo 7

Calcular e^{-8} (valor aproximado fácil de lembrar/usar na prova com calculadora ou tabela):
e^{-8}\approx0{,}0003354626.

Passo 8

Multiplicar para obter a probabilidade numérica:
P(N=10)\approx 0{,}0003354626 \times 295{,}894907\approx 0{,}0992628.
Interpretação rápida: cerca de 9{,}93\% de chance de passar exatamente 10 veículos em 4 minutos, se a taxa média for 2 por minuto.

Passo 9

Dica prática para fazer na prova sem ficar com números gigantes:
  • Em vez de calcular 8^{10} e 10! separadamente, calcular o produto iterativo
\frac{8^{10}}{10!}=\prod_{j=1}^{10}\frac{8}{j},
multiplicando termo a termo (faça 1\cdot\frac{8}{1}\cdot\frac{8}{2}\cdot\frac{8}{3}\cdots\frac{8}{10}). Isso evita números enormes e dá diretamente o valor \approx295{,}8949. Depois multiplica por e^{-8}. Assim dá para fazer com papel e calculadora de bolso sem overflow.

Resposta

P(N=10)=e^{-8}\dfrac{8^{10}}{10!}\approx0{,}0992628

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