Se num cruzamento passam veículos numa taxa de 2 a cada minuto, determine:
A probabilidade de que em 4 minutos passem exatamente 10 veículos.
A probabilidade de que em 4 minutos passem exatamente 10 veículos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- Taxa média de passagem de veículos:
veículos por minuto. - Intervalo de tempo considerado:
minutos. - Pergunta: qual a probabilidade de que, em
minutos, passem exatamente veículos?
Passo 2
Escolher o modelo probabilístico adequado (explicação didática):
Quando eventos (veículos) ocorrem de forma independente e com taxa média constante no tempo, o número de ocorrências em um intervalo fixo de tempo segue a distribuição de Poisson. Nessa distribuição a probabilidade de ocorrer exatamente eventos em um intervalo é dada por uma fórmula simples (vou apresentar e explicar no próximo passo).
Quando eventos (veículos) ocorrem de forma independente e com taxa média constante no tempo, o número de ocorrências em um intervalo fixo de tempo segue a distribuição de Poisson. Nessa distribuição a probabilidade de ocorrer exatamente
Passo 3
Apresentar e explicar a fórmula da distribuição de Poisson:
A probabilidade de ocorrer exatamente eventos é
A probabilidade de ocorrer exatamente
onde:
-
é o valor esperado (média) do número de eventos no intervalo considerado; -
é o número de eventos que queremos (aqui ); -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ); -
é o fatorial de (produto ).
Essa fórmula vem das propriedades do processo de Poisson — não precisa decorar, basta lembrar: médiataxa tempo e usar a expressão acima.
Passo 4
Calcular a média
para o intervalo de
minutos:
A taxa é veículos/min e o tempo é
min, então
A taxa é
Passo 5
Aplicar a fórmula com
e
:
Aqui cada símbolo significa o que expliquei antes:
,
.
Passo 6
Calcular o numerador e o denominador de forma exata (para quem gosta de ver a conta):
-
-
Logo
(na linha anterior simplificou-se
até obter a fração mais simples).
Passo 7
Calcular
(valor aproximado fácil de lembrar/usar na prova com calculadora ou tabela):
Passo 8
Multiplicar para obter a probabilidade numérica:
Interpretação rápida: cerca de
de chance de passar exatamente
veículos em
minutos, se a taxa média for
por minuto.
Passo 9
Dica prática para fazer na prova sem ficar com números gigantes:
- Em vez de calcular
e separadamente, calcular o produto iterativo
multiplicando termo a termo (faça
). Isso evita números enormes e dá diretamente o valor
. Depois multiplica por
. Assim dá para fazer com papel e calculadora de bolso sem overflow.