Numa fábrica têxtil, o número de impressoras que apresentam problemas, mensalmente, é uma v.a. com distribuição de Poisson \operatorname{com} \lambda=3.
a) Qual a probabilidade de 7 impressoras apresentarem problemas em um mês?
b) Qual a probabilidade de 5 ou mais impressoras apresentarem problemas em 3 meses?

Passo 1

O enunciado dá que, a cada mês, o número de impressoras com problemas é uma v.a. de Poisson com parâmetro \lambda=3. As perguntas são:
  • (a) Qual a probabilidade de exatamente 7 impressoras apresentarem problemas em um mês?
  • (b) Qual a probabilidade de 5 ou mais impressoras apresentarem problemas em 3 meses?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para um único mês: \lambda_{\text{mês}}=3ê.
  • Para três meses (assumindo meses independentes): será necessário agregar os eventos dos 3 meses (detalhes no Passo 3).

Passo 2

Definição e fórmula útil (aula rápida de Poisson).
  • A distribuição de Poisson com parâmetro \lambda>0 tem função massa de probabilidade dada por
P(X=k)=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots
onde:
  • \lambda é a média (esperança) e também a variância da v.a. X.
  • e é a base do logaritmo natural (aprox. e\approx 2,71828).
  • k! é o fatorial de k (por exemplo 4!=24, 7!=5040).
    Essa fórmula é o que usamos para responder (a) diretamente.
Cálculo para (a) (passo a passo):
  • Aplicar a fórmula com \lambda=3 e k=7:
P(X=7)=\frac{3^{7} e^{-3}}{7!}.
  • Calcular os valores inteiros envolvidos:
    • 3^{7}=2187.
    • 7!=5040.
  • Simplificar a fração \dfrac{2187}{5040}. Dividindo numerador e denominador por 9 obtém-se \dfrac{243}{560}.
  • Portanto
P(X=7)=\frac{243}{560}\,e^{-3}.
  • Se for necessário um valor numérico, usar e^{-3}\approx 0,04978706837 e multiplicar:
    • \dfrac{243}{560}\approx 0,4339285714.
    • Logo P(X=7)\approx 0,4339285714\times 0,04978706837\approx 0,0216036743.
Observação prática para prova: se o exame não permite calculadora, deixar em forma exata \dfrac{243}{560}e^{-3} é aceitável; se permite, calcule numérico como fiz acima.

Passo 3

Como tratar os 3 meses (a teoria por trás de agregar Poisson).
  • Propriedade importante: a soma de v.a.s. independentes com distribuição de Poisson é também Poisson, com parâmetro igual à soma dos parâmetros.
  • Se X_1,X_2,X_3 são independentes e X_i\sim\operatorname{Pois}(3) (cada mês), então
S = X_1+X_2+X_3 \sim \operatorname{Pois}(3+3+3)=\operatorname{Pois}(9).
Breve intuição (sem prova formal): ocorrências independentes em blocos de tempo somam médias; para Poisson isso preserva a forma da distribuição.
Portanto, para (b) tratamos o problema como: S\sim\operatorname{Pois}(9) e queremos P(S\ge5).

Passo 4

Cálculo de P(S\ge5) com \lambda=9 (passo a passo, usando o complementar).
  • Usar a complementaridade:
P(S\ge5)=1-P(S\le4)=1-\sum_{k=0}^{4}P(S=k).
  • Aplicar a fórmula de Poisson para \lambda=9:
P(S=k)=\frac{9^{k} e^{-9}}{k!},\qquad k=0,1,2,3,4.
  • É prático calcular as probabilidades sequencialmente usando a relação de recorrência
P(k+1)=P(k)\cdot\frac{9}{k+1},
começando por
P(0)=e^{-9}\approx 0,00012340980408667956.
  • Calcular os termos (mostrando cada passo):
    • P(0)=e^{-9}\approx 0,00012340980408667956.
    • P(1)=P(0)\cdot\frac{9}{1}\approx 0,001110688236780116.
    • P(2)=P(1)\cdot\frac{9}{2}\approx 0,004998097065510522.
    • P(3)=P(2)\cdot\frac{9}{3}=P(2)\cdot 3\approx 0,014994291196531565.
    • P(4)=P(3)\cdot\frac{9}{4}\approx 0,033737154692195522.
  • Somar os termos:
\sum_{k=0}^{4}P(S=k)\approx 0,00012340980408667956+0,001110688236780116+0,004998097065510522+0,014994291196531565+0,033737154692195522\approx 0,05496364099510441.
  • Finalmente:
P(S\ge5)=1-0,05496364099510441\approx 0,9450363590048956\approx 0,9450\\ (\text{arredondado}).
Dica de prova: se não puder calcular e^{-9} numericamente, deixe a resposta na forma exata de soma com e^{-9}. Se puder usar calculadora, a sequência por recorrência evita recalcular potências e fatoriais grandes.

Passo 5

Resumo final (o que fica fixo na cabeça para a prova):
  • Poisson pmf: P(X=k)=\dfrac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}.
  • Soma de Poisson independentes: soma dos \lambdas.
  • Para eventos “pelo menos” usar o complementar: P(\ge a)=1-P(\le a-1).
  • Calcule P(0) e use a recorrência P(k+1)=P(k)\cdot\dfrac{\lambda}{k+1} quando precisar de várias probabilidades.

Resposta

\text{(a)}\\\ 0,0216036743
\text{(b)}\\\ 0,9450363590

Exercícios relacionados