Numa fábrica têxtil, o número de impressoras que apresentam problemas, mensalmente, é uma v.a. com distribuição de Poisson
.
a) Qual a probabilidade de 7 impressoras apresentarem problemas em um mês?
b) Qual a probabilidade de 5 ou mais impressoras apresentarem problemas em 3 meses?
a) Qual a probabilidade de 7 impressoras apresentarem problemas em um mês?
b) Qual a probabilidade de 5 ou mais impressoras apresentarem problemas em 3 meses?
Passo 1
O enunciado dá que, a cada mês, o número de impressoras com problemas é uma v.a. de Poisson com parâmetro
. As perguntas são:
- (a) Qual a probabilidade de exatamente 7 impressoras apresentarem problemas em um mês?
- (b) Qual a probabilidade de 5 ou mais impressoras apresentarem problemas em 3 meses?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Para um único mês:
. - Para três meses (assumindo meses independentes): será necessário agregar os eventos dos 3 meses (detalhes no Passo 3).
Passo 2
Definição e fórmula útil (aula rápida de Poisson).
- A distribuição de Poisson com parâmetro
tem função massa de probabilidade dada por
onde:
-
é a média (esperança) e também a variância da v.a. . -
é a base do logaritmo natural (aprox. ). -
é o fatorial de (por exemplo , ).
Essa fórmula é o que usamos para responder (a) diretamente.
Cálculo para (a) (passo a passo):
- Aplicar a fórmula com
e :
- Calcular os valores inteiros envolvidos:
-
. -
.
-
- Simplificar a fração
. Dividindo numerador e denominador por obtém-se . - Portanto
- Se for necessário um valor numérico, usar
e multiplicar: -
. - Logo
.
-
Observação prática para prova: se o exame não permite calculadora, deixar em forma exata
é aceitável; se permite, calcule numérico como fiz acima.
Passo 3
Como tratar os 3 meses (a teoria por trás de agregar Poisson).
- Propriedade importante: a soma de v.a.s. independentes com distribuição de Poisson é também Poisson, com parâmetro igual à soma dos parâmetros.
- Se
são independentes e (cada mês), então
Breve intuição (sem prova formal): ocorrências independentes em blocos de tempo somam médias; para Poisson isso preserva a forma da distribuição.
Portanto, para (b) tratamos o problema como:
e queremos
.
Passo 4
Cálculo de
com
(passo a passo, usando o complementar).
- Usar a complementaridade:
- Aplicar a fórmula de Poisson para
:
- É prático calcular as probabilidades sequencialmente usando a relação de recorrência
começando por
- Calcular os termos (mostrando cada passo):
-
- Somar os termos:
- Finalmente:
Dica de prova: se não puder calcular
numericamente, deixe a resposta na forma exata de soma com
. Se puder usar calculadora, a sequência por recorrência evita recalcular potências e fatoriais grandes.
Passo 5
Resumo final (o que fica fixo na cabeça para a prova):
- Poisson pmf:
. - Soma de Poisson independentes: soma dos
s. - Para eventos “pelo menos” usar o complementar:
. - Calcule
e use a recorrência quando precisar de várias probabilidades.