1 Mostre que se
para todas as funções
(no espaço de Hilbert), então
para toda
e
(isto é, as duas definições de ‘hermitiano’ equações 3.16 e 3.17 da Ref. [1] - são equivalentes).
Dica: primeiro faça
, e, então, faça
.
Dica: primeiro faça
Passo 1
O enunciado dá a condição
para toda função
do espaço de Hilbert, e pede para mostrar que então vale, para quaisquer
e
,
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A igualdade
é válida para todo vetor . - A tarefa é provar que essa propriedade para vectores diagonais (expectation values) implica a igualdade mista acima para quaisquer
.
Passo 2
Vou lembrar e usar propriedades básicas do produto interno (bra-ket) que são necessárias e como aplicá-las sem ambiguidade:
- O produto interno é conjugado-linear no primeiro argumento e linear no segundo (convenção física). Isso significa, por exemplo, que para escalares
e vetores vale
- Em particular, quando os escalares são
ou as sobrelinhas aparecem conforme indicado (por exemplo ). - Também usarei que a igualdade dada vale para qualquer vetor
, então posso aplicá-la a , , , , etc.
Passo 3
Para organizar a prova, defino a diferença que quero mostrar ser zero:
O objetivo é provar que
para quaisquer
. Vou obter relações entre
e
usando o enunciado aplicado a vetores apropriados.
Passo 4
Aplicando a hipótese ao vetor
obtemos
Aplicando ao vetor
obtemos
Vou usar essas igualdades para cancelar termos quando expandir a igualdade para combinações lineares de
e
.
Passo 5
Agora uso
. Pela hipótese,
Expando ambos os lados com as propriedades do produto interno (sem esquecer as sobrelinhas, mas aqui os coeficientes são
, então não aparecem conjugados):
Usando as igualdades obtidas no Passo 4 para cancelar os primeiros e últimos termos em ambos os lados, sobra
Reescrevendo em termos de
, isto é
ou seja
Passo 6
Agora uso
. Pela hipótese,
Vou expandir cuidadosamente cada lado. Para o lado esquerdo, usando conjugação no primeiro argumento (já que a componente do primeiro vetor é
para
e
para
, então a contribuição do bra é
):
Para o lado direito, o primeiro argumento é
, pelo que
Usando novamente as igualdades do Passo 4 para cancelar os termos
e
, resta
Dividindo por
(não zero) obtemos
ou seja, em termos de
,
Passo 7
Agora temos o sistema linear para
Somando as duas equações dá
. Assim
para quaisquer
. Portanto
para todos
, que é exatamente a definição forte de operador hermitiano desejada.]