Desenhe as projeções de um losango e de um retângulo assentes em planos horizontais, de acordo com os seguintes dados: Os pontos (A) (0 ; 1 ; 2) e (C) (2 ; 8 ; 2) definem a diagonal maior do losango [ABCD]. A diagonal menor mede 5 cm . Os pontos (\mathrm{P})(0 ; 3 ; 3) \mathrm{e}(\mathrm{Q})(4 ; 3 ; 3) definem um lado do retângulo [PQRS]. A diagonal §® mede 6 cm .

Passo 1

O enunciado pede as projeções ortogonais de dois polígonos apoiados em plano horizontal (o “chão”):
– Um losango ABCD cuja diagonal maior é AC, com A=(0,1,2), C=(2,8,2), e cuja diagonal menor mede 5 cm.
– Um retângulo PQRS apoiado no mesmo plano, com lado PQ dado por P=(0,3,3), Q=(4,3,3), e diagonal PR de comprimento 6 cm.
Em Desenho Técnico chamamos de “planta” a projeção no plano horizontal (projeção ortogonal sobre z=0) e de “alçado” a projeção no plano vertical frontal (ortogonal sobre y=0).

Passo 2

Determinar B e D do losango:
  1. Calcule o ponto médio
M = \bigl(\tfrac{0+2}2,\;\tfrac{1+8}2,\;\tfrac{2+2}2\bigr) = (1,\,4{,}5,\,2).
  1. O vetor da diagonal maior é
\vec v = C - A = (2,\,7,\,0).
  1. Um vetor perpendicular a \vec v no plano z=2 é \vec w_0 =(-7,\,2,\,0), cuja norma é \|\vec w_0\|=\sqrt{49+4}=\sqrt{53}.
  2. Para que a diagonal menor seja 5, queremos \|\vec w\|=2{,}5. Logo
\vec w = \frac{2{,}5}{\sqrt{53}}\;(-7,\,2,\,0).
  1. Então
B = M + \vec w,\quad D = M - \vec w.

Passo 3

Projete o losango na planta (projeção horizontal): basta anular a coordenada z.
Seja
A'=(0,1),\quad C'=(2,8),
B'=\Bigl(1-\tfrac{7\cdot2{,}5}{\sqrt{53}},\;4{,}5+\tfrac{2\cdot2{,}5}{\sqrt{53}}\Bigr),
D'=\Bigl(1+\tfrac{7\cdot2{,}5}{\sqrt{53}},\;4{,}5-\tfrac{2\cdot2{,}5}{\sqrt{53}}\Bigr).
Na prática você traça A'C' e, no ponto médio M', ergue a perpendicular de comprimento 2{,}5 em cada sentido para obter B' e D'.

Passo 4

Projete o losango no alçado (projeção frontal): basta anular a coordenada y, ficando todas as projeções a uma mesma altura z=2.
A''=(0,2),\;B''\bigl(1-\tfrac{7\cdot2{,}5}{\sqrt{53}},\,2\bigr),\; C''=(2,2),\; D''\bigl(1+\tfrac{7\cdot2{,}5}{\sqrt{53}},\,2\bigr).
Como ABCD está num plano horizontal, o alçado é um segmento de reta paralelo ao x.

Passo 5

Determine R e S do retângulo:
  1. \vec{PQ}=(4,0,0) tem norma 4.
  2. A outra aresta PS deve ser perpendicular a \vec{PQ} e tal que
|PR|^2 = |\vec{PQ}|^2 + |\vec{PS}|^2 \quad\Longrightarrow\quad 6^2 = 4^2 + |\vec{PS}|^2 \;\Rightarrow\; |\vec{PS}|=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}.
  1. Escolhendo \vec{u}=(0,1,0) unitário e escalando,
\vec{PS} = \sqrt{20}\,(0,1,0),
S = P + \vec{PS} = \bigl(0,\,3+\sqrt{20},\,3\bigr), \quad R = Q + \vec{PS} = \bigl(4,\,3+\sqrt{20},\,3\bigr).

Passo 6

Projete o retângulo na planta: elimine z, obtendo
P'=(0,3),\;Q'=(4,3),\;R'=(4,\,3+\sqrt{20}),\;S'=(0,\,3+\sqrt{20}).
Projete no alçado: elimine y, todas as alturas são z=3, logo
P''=(0,3),\;Q''=(4,3),\;R''=(4,3),\;S''=(0,3),
isto é, um segmento de reta paralelo ao x à altura 3.

Resposta

Planta (projeção horizontal):
– Losango A'B'C'D' com
A'=(0,1),\; B'=\Bigl(1-\tfrac{17{,}5}{\sqrt{53}},\;4{,}5+\tfrac{5}{\sqrt{53}}\Bigr),\; C'=(2,8),\; D'=\Bigl(1+\tfrac{17{,}5}{\sqrt{53}},\;4{,}5-\tfrac{5}{\sqrt{53}}\Bigr).
– Retângulo P'Q'R'S' com
P'=(0,3),\;Q'=(4,3),\;R'=(4,3+\sqrt{20}),\;S'=(0,3+\sqrt{20}).
Alçado (projeção frontal):
– Losango A''B''C''D'' todo à altura z=2, segmentos de x=0 até x=2 com os pontos intermediários B'', D''.
– Retângulo P''Q''R''S'' todo à altura z=3, segmento de x=0 até x=4.

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