Detormine as componentes principais de tunsao e as cossemos diretores dos eixos principais para as estados plumos a seguir:
& sigmax x=140 MPa & sigmay y=20 MPa & sigmax y=-60 MPa

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um estado plano de tensão com
sigmaxx = 140 MPa, sigmayy = 20 MPa, sigmaxy = -60 MPa
Isso é tópico de Mecânica dos Sólidos (ou Resistência dos Materiais), mais especificamente tensões planas e tensões principais. Para resolver, a gente vai usar as fórmulas do “círculo de Mohr”:
  1. tensão média,
  2. raio do círculo,
  3. tensões principais,
  4. ângulo dos eixos principais.

Passo 2

Primeiro, calcula a tensão média sigmam = sigmaxx + sigmayy2 , que é
sigmam = 140 + 202 = 80 MPa
Aqui fica
Isso significa que o “centro” do círculo de Mohr tá em 80 MPa.

Passo 3

Agora precisamos do raio R = raizl(sigmaxx-sigmayy2r)^2 + sigmaxy^2 do círculo, dado por
sigmaxx-sigmayy2 = 140-202 = 60, sigmaxy = -60,
Substituindo:
R = raiz60^2 + (-60)^2 = raiz3600 + 3600 = raiz7200 approx 84,85 MPa
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Passo 4

As tensões principais são
sigma1,2 = sigmam pm R
Então
sigma1 = 80 + 84,85 approx 164,85 MPa, sigma2 = 80 - 84,85 approx -4,85 MPa

Passo 5

Falta achar o ângulo tan(2thetap) = 2,sigmaxysigmaxx-sigmayy =2cdot(-60)140-20=-1 (medido do eixo 2thetap = arctan(-1) = -45^circ Longrightarrow thetap = -22,5^circ até o eixo da ). A fórmula é
Então
Isso significa que a direção principal de está rotacionada em (ou, se preferir um ângulo positivo, ). A direção de fica .

Resposta

Tensões principais:
sigma1 approx 164,85 MPa, sigma2 approx -4,85 MPa
Direções principais (em relação ao eixo theta1 = -22,5^circ (ou 157,5^circ), theta2 = 67,5^circ ):

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