Detormine as componentes principais de tunsao e as cossemos diretores dos eixos principais para as estados plumos a seguir:
& sigmax x=-50 MPa & sigmay y=100 MPa & sigmax y=-30 MPa

Passo 1

Beleza, então vamos lá. O enunciado diz que temos um estado plano de tensões com
sigmaxx = -50 MPa, sigmayy = 100 MPa, sigmaxy = -30 MPa
O que a gente precisa encontrar é (1) as tensões principais, isto é, os valores e , e (2) as cossenos diretores dos eixos principais, ou seja, qual o “ângulo” desses eixos em relação ao eixo .
Matérias envolvidas: Mecânica dos Materiais / Resistência dos Materiais – Tensões Planejadas e Círculo de Mohr.
O que vamos usar:
  • Fórmula da média das tensões normais.
  • Fórmula do raio do círculo de Mohr (desvio).
  • Fórmula das tensões principais:
    .
  • Fórmula do ângulo principal:
    .
  • E por fim, cosseno e seno de para as direções principais.

Passo 2

Calcular a média das tensões normais ( sigmarm m = sigmaxx + sigmayy2 = -50 + 1002 = 25 MPa ) e o “desvio” (o raio do círculo de Mohr, l(sigmaxx-sigmayy2r)^2 = l(-50 - 1002r)^2 = (-75)^2 = 5625, ).
  1. Média:
sigmaxy^2 = (-30)^2 = 900,
  1. Desvio (metade da diferença ao quadrado mais o R = raiz5625 + 900 = raiz6525 approx 80,78 MPa ):

Passo 3

Agora as tensões principais sigma1,2 = sigmarm m pm R = 25 pm 80,78 (maior) e sigma1 = 25 + 80,78 approx 105,78 MPa, sigma2 = 25 - 80,78 approx -55,78 MPa (menor) vêm de
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Passo 4

Pra achar o ângulo thetap = 12,arctan!l(2,sigmaxysigmaxx-sigmayyr) = 12,arctan!l(2cdot(-30)-50 - 100r) = 12,arctan!l(-60-150r) = 12,arctan(0.4) do eixo principal (o eixo onde aparece 2,thetap approx 21,80^circ Longrightarrow thetap approx 10,90^circ ), usamos
Calculando dá

Passo 5

Os cossenos diretores do eixo principal 1 (onde fica l1 = costhetap approx cos(10,90^circ) approx 0,981, m1 = sinthetap approx sin(10,90^circ) approx 0,191 ) em relação aos eixos l2 = -sinthetap approx -0,191, m2 = costhetap approx 0,981 são
Para o eixo 2 (perpendicular ao 1), basta acrescentar , ou usar

Resposta

Tensões principais:
sigma1 approx 105,78 MPa, sigma2 approx -55,78 MPa
Cossenos diretores:
Eixo 1 ( ): .
Eixo 2 ( ): .

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