Detormine as componentes principais de tunsao e as cossemos diretores dos eixos principais para as estados plumos a seguir:
Passo 1
Beleza! O enunciado pede pra gente achar as tensões principais (os “eigenvalues” do tensor de tensão no plano) e as cos-diretoras dos eixos principais (os “eigenvectors”) sabendo que
Conteúdo: teoria de tensões principais em 2D (autovalores/autovetores do tensor), usando a equação característica. Vamos precisar:
- montar a equação característica
; - achar as raízes
; - achar o ângulo
com ; - daí tirar
.
Passo 2
Escrevendo a equação característica do tensor
temos
Passo 3
Vamos calcular passo a passo. Primeiro a média e o raio (Mohr ajuda a visualizar):
Aí as tensões principais são
Passo 4
Agora o ângulo
entre o eixo
e a direção de
. A fórmula é
Então
(Se você quiser a outra direção de eixos principal, soma 90°.)
Passo 5
As cosenos diretores são só
Para
:
E para o segundo eixo principal (
):
Resposta
Tensões principais:
Direção de
:
(a partir de
), com cos-diretoras
Para
:
, com