Detormine as componentes principais de tunsao e as cossemos diretores dos eixos principais para as estados plumos a seguir:
& sigmax x=-120 MPa & sigmay y=50 MPa & sigmax y=100 MPa

Passo 1

Beleza! O enunciado pede pra gente achar as tensões principais (os “eigenvalues” do tensor de tensão no plano) e as cos-diretoras dos eixos principais (os “eigenvectors”) sabendo que
sigmaxx = -120 MPa, sigmayy = 50 MPa, sigmaxy = 100 MPa
Conteúdo: teoria de tensões principais em 2D (autovalores/autovetores do tensor), usando a equação característica. Vamos precisar:
  1. montar a equação característica ;
  2. achar as raízes ;
  3. achar o ângulo com ;
  4. daí tirar .

Passo 2

Escrevendo a equação característica do tensor
[sigma]= sigmaxx&sigmaxy sigmaxy&sigmayy ,
temos
det! sigmaxx-lambda & sigmaxy[6pt] sigmaxy & sigmayy-lambda =0 ;Longrightarrow; (sigmaxx-lambda)(sigmayy-lambda)-sigmaxy^2=0

Passo 3

Vamos calcular passo a passo. Primeiro a média e o raio (Mohr ajuda a visualizar):
sigmam = sigmaxx+sigmayy2 = -120+502 = -35 MPa,
R = raizl(sigmaxx-sigmayy2r)^2 + sigmaxy^2 = raiz(-85)^2 + 100^2 = raiz7225 +10000 approx 131,24 MPa
Aí as tensões principais são
sigma1,2 = sigmampm R ;Longrightarrow; sigma1 = -35 +131,24 approx 96,24 MPa, sigma2 = -35 -131,24 approx -166,24 MPa

Passo 4

Agora o ângulo tan(2theta) = 2,sigmaxysigmaxx-sigmayy = 2cdot100-120 - 50 = 200-170 approx -1,1765 entre o eixo 2theta = arctan(-1,1765)approx -49,38^circ Longrightarrow theta approx -24,69^circ e a direção de . A fórmula é
Então
(Se você quiser a outra direção de eixos principal, soma 90°.)

Passo 5

As cosenos diretores são só
l = costheta, m=sintheta
Para l approx cos(-24,69^circ)approx 0,908, m approx sin(-24,69^circ)approx -0,418 :
l2approx cos65,31^circapprox 0,415, m2approx sin65,31^circapprox 0,909
E para o segundo eixo principal ( ):

Resposta

Tensões principais:
sigma1 approx 96,24 MPa, sigma2 approx -166,24 MPa
Direção de l1approx0,908, m1approx-0,418 : l2approx0,415, m2approx0,909 (a partir de ), com cos-diretoras
Para : , com

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