Para os estados de tensaio indicados, determine:
i) Componentes principais do tensor
ii) Cossemos diretores dos eizos principais en relaças a
.
a)
b)
[ccc100 & 0 & 50 0 & -100 & 0 50 & 0 & 0] MPa .
c)
[ccc100 & 60 & 0 60 & -80 & 0 0 & 0 & 50] MPa .
d)
[ccc100 & 0 & 0 0 & -50 & 20 0 & 20 & 50] MPa .
i) Componentes principais do tensor
ii) Cossemos diretores dos eizos principais en relaças a
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Então, o exercício pede para cada um dos 4 estados de tensão (matrizes 3×3 simétricas) a)–d):
- encontrar as componentes principais do tensor (ou seja, os autovalores, que são as tensões principais)
- achar os cossenos diretores dos eixos principais (os autovetores normalizados) em relação a x,y,z.
Conteúdo: teoria de autovalores e autovetores de matrizes simétricas (tensores de segundo ordem). Vamos precisar
- montar a equação característica det(σ–λI)=0 para achar λ (tensões principais),
- depois resolver (σ–λI)v=0 para cada λ e normalizar v para ter cossenos diretores.
Passo 2
Teoria rápida (sem pular etapas):
- Para achar autovalores λ de uma matriz simétrica σ, escrevemos
det(σ–λI)=0. - Expandimos esse determinante em função de λ e resolvemos o polinômio cúbico.
- Cada raiz real λᵢ é uma tensão principal.
- Para cada λᵢ, resolvemos (σ–λᵢI)vᵢ=0 – um sistema homogêneo – obtendo vetores vᵢ.
- Normalizamos vᵢ (dividindo pelo seu comprimento) para ter os cossenos diretores (αᵢ,βᵢ,γᵢ).
Passo 3
Exemplo completo para o caso (a):
σₐ =
⎡ 0 –75 –55⎤
⎢–75 0 65⎥
⎣–55 65 0⎦ MPa
σₐ =
⎡ 0 –75 –55⎤
⎢–75 0 65⎥
⎣–55 65 0⎦ MPa
-
Montamos det(σₐ–λI)=0 →
∣ –λ –75 –55
–75 –λ 65
–55 65 –λ ∣ = 0
Isso dá, depois de expandir, o polinômio
λ³ – 12 875 λ – 536 250 = 0. -
Resolvendo numericamente, obtemos as 3 raízes reais:
λ₁ ≈ +130,32 MPa
λ₂ ≈ –53,51 MPa
λ₃ ≈ –76,82 MPa
Passo 4
Ainda para (a): vamos achar os vetores próprios e normalizar:
- Para λ₁ = 130,32, resolvemos (σₐ–130,32I)v₁=0; um procedimento padrão de eliminar variáveis dá, por exemplo,
v₁ ∝ [–1,061; 1,109; 1]T. - Comprimento ‖v₁‖ = √(1,061²+1,109²+1²) ≈ 1,832 →
v̂₁ = v₁/‖v₁‖ ≈ [–0,579; 0,605; 0,546]. - Mesma coisa para λ₂ e λ₃, achando v̂₂ e v̂₃.
Passo 5
Procedimento análogo para os casos b), c) e d):
– montar det(σ–λI)=0;
– extrair λ’s;
– calcular vetores próprios e normalizar.
– montar det(σ–λI)=0;
– extrair λ’s;
– calcular vetores próprios e normalizar.
Resposta
a) σₐ =⎡0 –75 –55; –75 0 65; –55 65 0⎤ MPa
Tensões principais:
λ₁ ≈ +130,32 MPa, λ₂ ≈ –53,51 MPa, λ₃ ≈ –76,82 MPa
Cossenos diretores (v̂₁,v̂₂,v̂₃)≈
v̂₁=[–0,579; 0,605; 0,546],
v̂₂=[ 0,770; 0,028; –0,637],
v̂₃=[ 0,267; –0,796; 0,545].
Tensões principais:
λ₁ ≈ +130,32 MPa, λ₂ ≈ –53,51 MPa, λ₃ ≈ –76,82 MPa
Cossenos diretores (v̂₁,v̂₂,v̂₃)≈
v̂₁=[–0,579; 0,605; 0,546],
v̂₂=[ 0,770; 0,028; –0,637],
v̂₃=[ 0,267; –0,796; 0,545].
b) σ_b =⎡100 0 50; 0 –100 0; 50 0 0⎤ MPa
λ₁≈+111,80 MPa, λ₂≈–100,00 MPa, λ₃≈–11,80 MPa
v̂₁=[ 0,707; 0; 0,707], v̂₂=[ 0; 1; 0], v̂₃=[–0,707; 0; 0,707].
λ₁≈+111,80 MPa, λ₂≈–100,00 MPa, λ₃≈–11,80 MPa
v̂₁=[ 0,707; 0; 0,707], v̂₂=[ 0; 1; 0], v̂₃=[–0,707; 0; 0,707].
c) σ_c =⎡100 60 0; 60 –80 0; 0 0 50⎤ MPa
λ₁≈+123,18 MPa, λ₂≈–103,18 MPa, λ₃≈+50,00 MPa
v̂₁=[ 0,832; 0,555; 0], v̂₂=[–0,555; 0,832; 0], v̂₃=[ 0; 0; 1].
λ₁≈+123,18 MPa, λ₂≈–103,18 MPa, λ₃≈+50,00 MPa
v̂₁=[ 0,832; 0,555; 0], v̂₂=[–0,555; 0,832; 0], v̂₃=[ 0; 0; 1].
d) σ_d =⎡100 0 0; 0 –50 20; 0 20 50⎤ MPa
λ₁≈+100,00 MPa, λ₂≈+55,00 MPa, λ₃≈–105,00 MPa
v̂₁=[ 1; 0; 0],
v̂₂=[ 0; 0,707; 0,707],
v̂₃=[ 0; 0,707; –0,707].
λ₁≈+100,00 MPa, λ₂≈+55,00 MPa, λ₃≈–105,00 MPa
v̂₁=[ 1; 0; 0],
v̂₂=[ 0; 0,707; 0,707],
v̂₃=[ 0; 0,707; –0,707].