(a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo local de f.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
f(x)=e^{2 x}+e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede três coisas:
  • (a) os intervalos em que f é crescente ou decrescente;
  • (b) os valores máximo e mínimo locais de f;
  • (c) os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
A função fornecida é
f(x)=e^{2x}+e^{-2x}.
Os dados relevantes: a expressão explícita de f, válida para todo x\in\mathbb{R}. A partir disso vamos calcular derivadas, analisar seus sinais e tirar conclusões sobre monotonicidade, extremos e concavidade.

Passo 2

Primeiro conceito importante (passo-a-passo): a derivada f'(x) representa a taxa de variação (ou “inclinação”) da função num ponto. Regras práticas que vou usar:
  • Se f'(x)>0 em um intervalo, então f é crescente nesse intervalo.
  • Se f'(x)<0 em um intervalo, então f é decrescente nesse intervalo.
  • Pontos onde f'(x)=0 (ou f' não existe) são candidatos a extremos locais.
Também preciso da regra de derivação de exponenciais: a derivada de e^{ax} em relação a x é a e^{ax}, onde a é uma constante.
Agora calculo f'(x). Derivando termo a termo:
f(x)=e^{2x}+e^{-2x}\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=2e^{2x}-2e^{-2x}.
Fatorando 2:
f'(x)=2\bigl(e^{2x}-e^{-2x}\bigr).

Passo 3

Determinar os pontos críticos: resolvo f'(x)=0.
2\bigl(e^{2x}-e^{-2x}\bigr)=0 \iff e^{2x}-e^{-2x}=0.
Somei e^{2x} dos dois lados (ou multiplique por e^{2x}):
e^{4x}=1.
Como e^{t}=1 só quando t=0, segue 4x=0 e portanto
x=0
é o único ponto onde f'(x)=0. Esse é o único candidato a extremum.

Passo 4

Análise do sinal de f'(x) para obter monotonicidade.
Observe f'(x)=2\bigl(e^{2x}-e^{-2x}\bigr). Para comparar e^{2x} e e^{-2x} é útil pensar no sinal de x:
  • Se x>0, então 2x>0 e -2x<0. Assim e^{2x}>1 e e^{-2x}<1, logo e^{2x}-e^{-2x}>0. Então f'(x)>0 para todo x>0.
  • Se x<0, então 2x<0 e -2x>0. Assim e^{2x}<1 e e^{-2x}>1, logo e^{2x}-e^{-2x}<0. Então f'(x)<0 para todo x<0.
  • Em x=0 temos f'(0)=0 (já visto).
Conclusão sobre monotonicidade:
  • f é decrescente em (-\infty,0).
  • f é crescente em (0,\infty).
(Interpretação intuitiva: à esquerda de 0 a parte e^{-2x} domina e faz a derivada negativa; à direita de 0 a parte e^{2x} domina e torna a derivada positiva.)

Passo 5

Classificação do extremo em x=0.
Como f' muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) ao passar por x=0, pelo teste da primeira derivada temos um mínimo local em x=0.
Calculo o valor:
f(0)=e^{0}+e^{0}=1+1=2.
Portanto há um mínimo local em \bigl(0,\,2\bigr).
Além disso, pela forma da função (ambos os termos são positivos e crescem muito para |x|\to\infty), esse mínimo é também o mínimo global — posso justificar rapidamente: para qualquer x,
e^{2x}+e^{-2x}\ge 2,
pois por desigualdade AM-GM a+b\ge 2\sqrt{ab} com a=e^{2x},\,b=e^{-2x} e^{2x}+e^{-2x}\ge 2. Igualdade só em x=0. Logo f(0)=2 é o menor valor possível.
Não existe máximo local finito porque \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=+\infty.

Passo 6

Concavidade e pontos de inflexão: segunda derivada.
Conceito: a segunda derivada f''(x) diz se a função está “curvada para cima” (concavidade para cima, quando f''>0) ou “curvada para baixo” (concavidade para baixo, quando f''<0). Pontos de inflexão são onde f'' muda de sinal (ou é zero e há mudança de concavidade).
Derivo f'(x)=2e^{2x}-2e^{-2x}:
f''(x)=4e^{2x}+4e^{-2x}=4\bigl(e^{2x}+e^{-2x}\bigr).
Agora analiso o sinal: para todo x temos e^{2x}>0 e e^{-2x}>0, logo e^{2x}+e^{-2x}>0 e portanto f''(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}.
Conclusões:
  • f é côncava para cima (concavidade positiva) em todo o (-\infty,\infty).
  • Como f''(x) nunca é zero nem muda de sinal, não há pontos de inflexão.

Passo 7

Recapitulando e reforçando a intuição (rápido):
  • A derivada primeira deu um único ponto crítico x=0 e o teste de sinal mostrou decrescente antes de 0 e crescente depois, caracterizando um mínimo local (e global) em x=0.
  • A segunda derivada é positiva em todo lugar, então a curva está sempre “virada para cima” e não existe ponto de inflexão.

Resposta

(a) f é decrescente em (-\infty,0) e crescente em (0,\infty).
(b) Mínimo local (e global) em x=0 com valor f(0)=2. Não há máximo local finito.
(c) f é côncava para cima em (-\infty,\infty) (ou seja, em toda \mathbb{R}). Não existem pontos de inflexão.

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