(a) Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo local de
.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo local de
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) os intervalos em que
é crescente ou decrescente; - (b) os valores máximo e mínimo locais de
; - (c) os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
A função fornecida é
Os dados relevantes: a expressão explícita de
, válida para todo
. A partir disso vamos calcular derivadas, analisar seus sinais e tirar conclusões sobre monotonicidade, extremos e concavidade.
Passo 2
Primeiro conceito importante (passo-a-passo): a derivada
representa a taxa de variação (ou “inclinação”) da função num ponto. Regras práticas que vou usar:
- Se
em um intervalo, então é crescente nesse intervalo. - Se
em um intervalo, então é decrescente nesse intervalo. - Pontos onde
(ou não existe) são candidatos a extremos locais.
Também preciso da regra de derivação de exponenciais: a derivada de
em relação a
é
, onde
é uma constante.
Agora calculo
. Derivando termo a termo:
Fatorando
:
Passo 3
Determinar os pontos críticos: resolvo
.
Somei
dos dois lados (ou multiplique por
):
Como
só quando
, segue
e portanto
é o único ponto onde
. Esse é o único candidato a extremum.
Passo 4
Análise do sinal de
para obter monotonicidade.
Observe
. Para comparar
e
é útil pensar no sinal de
:
- Se
, então e . Assim e , logo . Então para todo . - Se
, então e . Assim e , logo . Então para todo . - Em
temos (já visto).
Conclusão sobre monotonicidade:
-
é decrescente em . -
é crescente em .
(Interpretação intuitiva: à esquerda de
a parte
domina e faz a derivada negativa; à direita de
a parte
domina e torna a derivada positiva.)
Passo 5
Classificação do extremo em
.
Como
muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) ao passar por
, pelo teste da primeira derivada temos um mínimo local em
.
Calculo o valor:
Portanto há um mínimo local em
.
Além disso, pela forma da função (ambos os termos são positivos e crescem muito para
), esse mínimo é também o mínimo global — posso justificar rapidamente: para qualquer
,
pois por desigualdade AM-GM
com
dá
. Igualdade só em
. Logo
é o menor valor possível.
Não existe máximo local finito porque
.
Passo 6
Concavidade e pontos de inflexão: segunda derivada.
Conceito: a segunda derivada
diz se a função está “curvada para cima” (concavidade para cima, quando
) ou “curvada para baixo” (concavidade para baixo, quando
). Pontos de inflexão são onde
muda de sinal (ou é zero e há mudança de concavidade).
Derivo
:
Agora analiso o sinal: para todo
temos
e
, logo
e portanto
para todo
.
Conclusões:
-
é côncava para cima (concavidade positiva) em todo o . - Como
nunca é zero nem muda de sinal, não há pontos de inflexão.
Passo 7
Recapitulando e reforçando a intuição (rápido):
- A derivada primeira deu um único ponto crítico
e o teste de sinal mostrou decrescente antes de e crescente depois, caracterizando um mínimo local (e global) em . - A segunda derivada é positiva em todo lugar, então a curva está sempre “virada para cima” e não existe ponto de inflexão.
Resposta
(a)
é decrescente em
e crescente em
.
(b) Mínimo local (e global) em
com valor
. Não há máximo local finito.
(c)
é côncava para cima em
(ou seja, em toda
). Não existem pontos de inflexão.