(a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo local de f.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
f(x)=\sin x+\cos x, \quad 0 \leq x \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sin x+\cos x,\qquad 0\le x\le 2\pi,
e pede três coisas:
(a) os intervalos em que f é crescente ou decrescente;
(b) os valores máximo e mínimo local de f;
(c) os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Informações relevantes dadas:
  • A função explícita f(x)=\sin x+\cos x.
  • O domínio considerado é o intervalo fechado [0,\;2\pi].
  • Devemos estudar monotonicidade (derivada primeira), extremos locais (sinais da derivada), e concavidade/pontos de inflexão (derivada segunda).

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira e entender o que ela significa.
Regra usada (pequena aula): a derivada de \sin x é \cos x e a derivada de \cos x é -\sin x. Ou seja, para funções trigonométricas simples:
\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
Aplicando isso a f:
f'(x)=\cos x - \sin x.
É essa função f'(x) que nos diz se f cresce ( f'>0) ou decresce ( f'<0).
Uma maneira prática de estudar o sinal de \cos x - \sin x é usar uma identidade de soma de um ângulo. Observação útil:
\cos x - \sin x = \sqrt{2}\cos\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Esse passo vem de escrever \cos x - \sin x = \sqrt{2}\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \tfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x\right) e reconhecer \cos\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \tfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x.
Logo os zeros de f' são dados por \cos\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr)=0, isto é
x+\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{2}+k\pi \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{\pi}{4}+k\pi.
No intervalo [0,2\pi] temos os pontos críticos
x=\tfrac{\pi}{4}\quad\text{e}\quad x=\tfrac{5\pi}{4}.

Passo 3

Agora vamos usar o sinal de f'(x)=\sqrt{2}\cos\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr) para determinar monotonicidade.
Como \sqrt{2}>0, o sinal de f' é o mesmo do cosseno de x+\tfrac{\pi}{4}. O cosseno é positivo quando o argumento está em (-{\pi}/{2},{\pi}/{2}) módulo 2\pi, e negativo quando está em ({\pi}/{2},{3\pi}/{2}) módulo 2\pi.
Traduzindo para x e intersectando com [0,2\pi]:
  • Regiões onde \cos\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr)>0:
    • x\in( -\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}) (adaptação do período); intersectando com [0,2\pi] x\in[0,\tfrac{\pi}{4}).
    • somando 2\pi ao intervalo anterior obtemos outro intervalo positivo: x\in(\tfrac{5\pi}{4},2\pi].
  • Região onde \cos\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr)<0:
    • entre os dois zeros: x\in(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}).
Para ter certeza (teste de ponto):
  • Em x=\tfrac{\pi}{8} temos f'(\tfrac{\pi}{8})>0 (cresce).
  • Em x=\pi temos f'(\pi)=\cos\pi-\sin\pi=-1-0=-1<0 (decresce).
  • Em x=\tfrac{3\pi}{2} temos f'(\tfrac{3\pi}{2})=0-(-1)=1>0 (cresce).
Portanto:
  • f é crescente em [0,\tfrac{\pi}{4}) e em (\tfrac{5\pi}{4},2\pi].
  • f é decrescente em (\tfrac{\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}).
Obs.: em x=\tfrac{\pi}{4} e x=\tfrac{5\pi}{4} temos f'=0 (pontos críticos), por isso os intervalos de monotonicidade são abertos nesses pontos (ou podemos incluir o limite do intervalo fechado no caso das extremidades do domínio).

Passo 4

Classificação dos pontos críticos (máximos e mínimos locais).
Regra usada (aula curta): se f' muda de positivo para negativo passando por um ponto crítico c, então f tem um máximo local em c. Se f' muda de negativo para positivo, tem um mínimo local em c.
  • Em x=\tfrac{\pi}{4}: f' passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) → máximo local.
  • Em x=\tfrac{5\pi}{4}: f' passa de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) → mínimo local.
Agora calculamos os valores de f nesses pontos. Para isso lembramos os valores padrão:
\sin\!\tfrac{\pi}{4}=\cos\!\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.
Então
f\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\sin\!\tfrac{\pi}{4}+\cos\!\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.
Para x=\tfrac{5\pi}{4}, sabemos que \sin\!\tfrac{5\pi}{4}=\cos\!\tfrac{5\pi}{4}=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}, então
f\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr)=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}-\tfrac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}.
Observação adicional útil: avaliando também as extremidades x=0 e x=2\pi temos f(0)=1 e f(2\pi)=1, portanto o máximo absoluto no intervalo [0,2\pi] é \sqrt{2} em \tfrac{\pi}{4} e o mínimo absoluto é -\sqrt{2} em \tfrac{5\pi}{4}. Mas o pedido foi de máximos/minimos locais — já classificados acima.

Passo 5

Agora a derivada segunda e concavidade.
Regra usada: a segunda derivada é a derivada da primeira. Já tínhamos f'(x)=\cos x-\sin x. Derivando novamente,
f''(x)=-\sin x - \cos x.
Note a relação bonita:
f''(x) = -(\sin x+\cos x) = -f(x).
Isso significa que o sinal de f'' é o oposto do sinal de f.
Pontos de inflexão ocorrem quando f''(x)=0 e há troca de sinal. Como f''(x)=-f(x), zeros de f'' coincidem com zeros de f:
f(x)=\sin x+\cos x=0 \quad\Rightarrow\quad \tan x = -1.
As soluções são x=-\tfrac{\pi}{4}+k\pi. No intervalo [0,2\pi] obtemos
x=\tfrac{3\pi}{4}\quad\text{e}\quad x=\tfrac{7\pi}{4}.
Esses são os candidatos a pontos de inflexão. Vamos verificar a troca de sinal de f'':
Como f''=-f, basta olhar o sinal de f=\sin x+\cos x.
  • Em 0<x<\tfrac{3\pi}{4} (por exemplo x=\tfrac{\pi}{2}) temos f>0 (pois \sin\tfrac{\pi}{2}=1, \cos\tfrac{\pi}{2}=0), então f''<0 → concavidade para baixo (côncavo).
  • Em \tfrac{3\pi}{4}<x<\tfrac{7\pi}{4} (por exemplo x=\pi) temos f<0, então f''>0 → concavidade para cima (convexo).
  • Em \tfrac{7\pi}{4}<x<2\pi (por exemplo x=\tfrac{15\pi}{8}) temos f>0 novamente, então f''<0 → concavo para baixo.
Portanto f'' muda de sinal em x=\tfrac{3\pi}{4} e x=\tfrac{7\pi}{4}, confirmando que esses são pontos de inflexão. Os valores de f nesses pontos são zero:
f\!\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=0,\qquad f\!\bigl(\tfrac{7\pi}{4}\bigr)=0.

Passo 6

Resumo final do que foi encontrado (preparando a resposta concisa que será mostrada em seguida):
  • Derivada: f'(x)=\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr). Zeros em x=\tfrac{\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}.
  • Monotonicidade: crescente em [0,\tfrac{\pi}{4}) e (\tfrac{5\pi}{4},2\pi]; decrescente em (\tfrac{\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}).
  • Extremos: máximo local (e absoluto em [0,2\pi]) em x=\tfrac{\pi}{4} com valor \sqrt{2}; mínimo local (e absoluto) em x=\tfrac{5\pi}{4} com valor -\sqrt{2}.
  • Segunda derivada: f''(x)=-\sin x-\cos x=-f(x). Pontos de inflexão em x=\tfrac{3\pi}{4} e x=\tfrac{7\pi}{4} onde f=0.
  • Concavidade: côncavo (para baixo) em [0,\tfrac{3\pi}{4}) e (\tfrac{7\pi}{4},2\pi]; convexo (para cima) em (\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}).

Resposta

(a) Crescente em [0,\tfrac{\pi}{4})\cup(\tfrac{5\pi}{4},2\pi]; decrescente em (\tfrac{\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}).
(b) Máximo local em x=\tfrac{\pi}{4} com f(\tfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}.
Mínimo local em x=\tfrac{5\pi}{4} com f(\tfrac{5\pi}{4})=-\sqrt{2}.
(c) Concavidade: côncavo (para baixo) em [0,\tfrac{3\pi}{4})\cup(\tfrac{7\pi}{4},2\pi]; convexo (para cima) em (\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}).
Pontos de inflexão em x=\tfrac{3\pi}{4} e x=\tfrac{7\pi}{4} (ambos com f=0).

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