(a) Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo local de
.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo local de
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
(a) os intervalos em que é crescente ou decrescente;
(b) os valores máximo e mínimo local de ;
(c) os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(a) os intervalos em que
(b) os valores máximo e mínimo local de
(c) os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Informações relevantes dadas:
- A função explícita
. - O domínio considerado é o intervalo fechado
. - Devemos estudar monotonicidade (derivada primeira), extremos locais (sinais da derivada), e concavidade/pontos de inflexão (derivada segunda).
Passo 2
Vamos calcular a derivada primeira e entender o que ela significa.
Regra usada (pequena aula): a derivada de
é
e a derivada de
é
. Ou seja, para funções trigonométricas simples:
Aplicando isso a
:
É essa função
que nos diz se
cresce (
) ou decresce (
).
Uma maneira prática de estudar o sinal de
é usar uma identidade de soma de um ângulo. Observação útil:
Esse passo vem de escrever
e reconhecer
.
Logo os zeros de
são dados por
, isto é
No intervalo
temos os pontos críticos
Passo 3
Agora vamos usar o sinal de
para determinar monotonicidade.
Como
, o sinal de
é o mesmo do cosseno de
. O cosseno é positivo quando o argumento está em
módulo
, e negativo quando está em
módulo
.
Traduzindo para
e intersectando com
:
- Regiões onde
: -
(adaptação do período); intersectando com dá . - somando
ao intervalo anterior obtemos outro intervalo positivo: .
-
- Região onde
: - entre os dois zeros:
.
- entre os dois zeros:
Para ter certeza (teste de ponto):
- Em
temos (cresce). - Em
temos (decresce). - Em
temos (cresce).
Portanto:
-
é crescente em e em . -
é decrescente em .
Obs.: em
e
temos
(pontos críticos), por isso os intervalos de monotonicidade são abertos nesses pontos (ou podemos incluir o limite do intervalo fechado no caso das extremidades do domínio).
Passo 4
Classificação dos pontos críticos (máximos e mínimos locais).
Regra usada (aula curta): se
muda de positivo para negativo passando por um ponto crítico
, então
tem um máximo local em
. Se
muda de negativo para positivo, tem um mínimo local em
.
- Em
: passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) → máximo local. - Em
: passa de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) → mínimo local.
Agora calculamos os valores de
nesses pontos. Para isso lembramos os valores padrão:
Então
Para
, sabemos que
, então
Observação adicional útil: avaliando também as extremidades
e
temos
e
, portanto o máximo absoluto no intervalo
é
em
e o mínimo absoluto é
em
. Mas o pedido foi de máximos/minimos locais — já classificados acima.
Passo 5
Agora a derivada segunda e concavidade.
Regra usada: a segunda derivada é a derivada da primeira. Já tínhamos
. Derivando novamente,
Note a relação bonita:
Isso significa que o sinal de
é o oposto do sinal de
.
Pontos de inflexão ocorrem quando
e há troca de sinal. Como
, zeros de
coincidem com zeros de
:
As soluções são
. No intervalo
obtemos
Esses são os candidatos a pontos de inflexão. Vamos verificar a troca de sinal de
:
Como
, basta olhar o sinal de
.
- Em
(por exemplo ) temos (pois , ), então → concavidade para baixo (côncavo). - Em
(por exemplo ) temos , então → concavidade para cima (convexo). - Em
(por exemplo ) temos novamente, então → concavo para baixo.
Portanto
muda de sinal em
e
, confirmando que esses são pontos de inflexão. Os valores de
nesses pontos são zero:
Passo 6
Resumo final do que foi encontrado (preparando a resposta concisa que será mostrada em seguida):
- Derivada:
. Zeros em . - Monotonicidade: crescente em
e ; decrescente em . - Extremos: máximo local (e absoluto em
) em com valor ; mínimo local (e absoluto) em com valor . - Segunda derivada:
. Pontos de inflexão em e onde . - Concavidade: côncavo (para baixo) em
e ; convexo (para cima) em .
Resposta
(a) Crescente em
; decrescente em
.
(b) Máximo local em
com
.
Mínimo local em com
.
Mínimo local em
(c) Concavidade: côncavo (para baixo) em
; convexo (para cima) em
.
Pontos de inflexão em e
(ambos com
).
Pontos de inflexão em