Para o estado plano de deformação dado, use as equações da tansformação do estado para determinar o estado plano de deformação associado aos eixos x’ e y’ que sofreram uma rotação do ângulo \theta dado.
\epsilon_{x} = -800 \mu, \epsilon_{y} = +450 \mu, \gamma_{x y} = +200 \mu, \theta = 25^{\circ} \downarrow

Passo 1

O enunciado dá o estado plano de deformação nos eixos x,y:
\epsilon_{x}=-800\,\mu, \epsilon_{y}=+450\,\mu, \gamma_{xy}=+200\,\mu, e pede o estado de deformação nos eixos girados x',y' por um ângulo \theta=25^\circ no sentido horário.
Conteúdo: transformações de tensões/deformações em plano. Vamos usar as fórmulas de transformação de deformações, lembrando que tomamos \theta positivo no sentido anti-horário; como a rotação é horário, usamos \theta=-25^\circ.

Passo 2

As fórmulas de transformação (engenharia de deformações) são:
\epsilon_{x'}=\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}+\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\cos2\theta+\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta
\epsilon_{y'}=\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}-\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\cos2\theta-\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta
\gamma_{x'y'}=-\bigl(\epsilon_x-\epsilon_y\bigr)\sin2\theta+\gamma_{xy}\cos2\theta
Aqui \gamma_{xy} é a deformação de engenharia e \theta=-25^\circ.

Passo 3

Calculemos os termos intermediários:
\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}=\frac{-800+450}{2}=-175\,\mu
\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}=\frac{-800-450}{2}=-625\,\mu
\frac{\gamma_{xy}}{2}=100\,\mu
2\theta=2\cdot(-25^\circ)=-50^\circ,\quad \cos2\theta=\cos(-50^\circ)\approx0{,}6428,\quad \sin2\theta=\sin(-50^\circ)\approx-0{,}7660

Passo 4

Substituindo em cada fórmula:
\epsilon_{x'}=-175+(-625)\times0{,}6428+100\times(-0{,}7660)\approx-175-402{,}4-76{,}6=-654\,\mu
\epsilon_{y'}=-175 -\bigl(-625\bigr)\times0{,}6428 \;-\;100\times(-0{,}7660) \approx -175+402{,}4+76{,}6=304\,\mu
\gamma_{x'y'}=-\bigl(-1250\bigr)\times(-0{,}7660)+200\times0{,}6428 \approx -957{,}5+128{,}6=-829\,\mu

Resposta

\epsilon_{x'}\approx -654\,\mu
\epsilon_{y'}\approx +304\,\mu
\gamma_{x'y'}\approx -829\,\mu

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