Evaluate the integral integralegral duplaS(curl F) cdot n d A directly for the given F and S.
F=[4 z^2, 16 x, 0], S: z=y(0 <=q x <=q 1,0 <=q y <=q 1)

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui? O exercício pede para calcular diretamente a integral de superfície

onde

e a superfície é dada pelo grÔfico sobre o retângulo

Conteúdo: integração de fluxo de um rotacional de um campo vetorial sobre uma superfície.
O que vamos precisar:
  1. Calcular (rotacional).
  2. Parametrizar a superfĆ­cie e achar o vetor normal .
  3. Fazer o produto escalar e integrar em .

Passo 2

Calcular o rotacional nablatimes F = i & j & k partialx & partialy & partialz 4z^2 & 16x & 0 .
Recall que
nablatimes F=(0,;8z,;16)
Então:
  • Componente : .
  • Componente : .
  • Componente : .
    Logo

Passo 3

Parametrizar a superfĆ­cie r(x,y)=(x,;y,;y), 0<= x<=1,;0<= y<=1 .
Como rxtimes ry = i & j & k 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 =(0,-1,1) , escolho
Os vetores tangentes são
e .
O vetor normal não normalizado é
Esse vetor tem a componente positiva, ou seja, ā€œaponta pra cimaā€.

Passo 4

Montar a integral de fluxo:
(nablatimes F)cdot( rxtimes ry) =(0,8z,16)cdot(0,-1,1) =-8z+16
Como na parametrização integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dA =integralx=0^1!!integraly=0^1(-8y+16),dy,dx , o integrando vira integral0^1(-8y+16),dy =l[-4y^2+16yr]0^1 =(-4+16)-0=12 .
Agora é só integrar sobre :
Primeiro em :
Depois em :

Resposta

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