Evaluate the integral
directly for the given
and
.
Passo 1
Beleza, entĆ£o o que a gente tem aqui? O exercĆcio pede para calcular diretamente a integral de superfĆcie
onde
e a superfĆcie Ć© dada pelo grĆ”fico
sobre o retângulo
ConteĆŗdo: integração de fluxo de um rotacional de um campo vetorial sobre uma superfĆcie.
O que vamos precisar:
onde
e a superfĆcie
ConteĆŗdo: integração de fluxo de um rotacional de um campo vetorial sobre uma superfĆcie.
O que vamos precisar:
- Calcular
(rotacional). - Parametrizar a superfĆcie
e achar o vetor normal . - Fazer o produto escalar
e integrar em .
Passo 2
Calcular o rotacional
.
Recall que
Recall que
Então:
- Componente
: . - Componente
: . - Componente
: .
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Passo 3
Parametrizar a superfĆcie
r(x,y)=(x,;y,;y), 0<= x<=1,;0<= y<=1 .
Como rxtimes ry = i & j & k 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 =(0,-1,1) , escolho
Como
Os vetores tangentes são
e
.
O vetor normal não normalizado é
O vetor normal não normalizado é
Esse vetor tem a componente
positiva, ou seja, āaponta pra cimaā.
Passo 4
Montar a integral de fluxo:
Como na parametrização
integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dA =integralx=0^1!!integraly=0^1(-8y+16),dy,dx , o integrando vira
integral0^1(-8y+16),dy =l[-4y^2+16yr]0^1 =(-4+16)-0=12 .
Agora é só integrar sobre :
Agora é só integrar sobre
Primeiro em
:
Depois em
: