of a mass of density 1 in a region
about the
-axis. Find
when
is as follows.
The cube
The cube
Passo 1
Beleza, o problema diz que temos um cubo de aresta
, com densidade igual a 1, e quer o momento de inƩrcia em torno do eixo
. Em teoria de corpo rĆgido, o momento de inĆ©rcia em torno do eixo
Ć©
onde
.
Conteúdo: cÔlculo de integrais triplas e uso da definição de momento de inércia. Vamos precisar usar a linearidade da integral e a separação de variÔveis.
Conteúdo: cÔlculo de integrais triplas e uso da definição de momento de inércia. Vamos precisar usar a linearidade da integral e a separação de variÔveis.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a integral exatamente sobre o cubo
:
Aqui a densidade é 1, então só aparece
.
Passo 3
A gente usa que a integral de soma Ć© soma de integrais:
E como as variƔveis se separam, cada integral fatores de a:
Passo 4
Calculemos cada uma:
- Para
:
.
Como as integrações eme vão de 0 a e não dependem de , cada uma traz um fator . Logo
- Para
Ć© exatamente o mesmo raciocĆnio:
e os fatores dee dão mais dois , resultando em de novo.
Passo 5
Somando as duas partes: