Ix=integralegral triplaT(y^2+z^2) d x d y d z of a mass of density 1 in a region T about the x-axis. Find Ix when T is as follows.
The cube 0 <=q x <=q a, 0 <=q y <=q a, 0 <=q z <=q a

Passo 1

Beleza, o problema diz que temos um cubo de aresta Ix = integral triplaT (y^2 + z^2),dV, , com densidade igual a 1, e quer o momento de inƩrcia em torno do eixo . Em teoria de corpo rƭgido, o momento de inƩrcia em torno do eixo Ʃ
onde .
Conteúdo: cÔlculo de integrais triplas e uso da definição de momento de inércia. Vamos precisar usar a linearidade da integral e a separação de variÔveis.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a integral exatamente sobre o cubo Ix = integral0^a!integral0^a!integral0^a (y^2 + z^2),dz,dy,dx :
Aqui a densidade é 1, então só aparece .

Passo 3

A gente usa que a integral de soma Ć© soma de integrais:
Ix = integral0^a!integral0^a!integral0^a y^2,dz,dy,dx + integral0^a!integral0^a!integral0^a z^2,dz,dy,dx
E como as variƔveis se separam, cada integral fatores de a:

Passo 4

Calculemos cada uma:
  1. Para integral0^a!integral0^a!integral0^a y^2,dz,dy,dx = l(tfraca^33r)times atimes a = a^53 :
    .
    Como as integrações em e vão de 0 a e não dependem de , cada uma traz um fator . Logo
  1. Para Ć© exatamente o mesmo raciocĆ­nio:

    e os fatores de e dão mais dois , resultando em de novo.

Passo 5

Somando as duas partes:
Ix = a^53 + a^53 = 2a^53

Resposta

boxedIx = 2,a^53

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