Evaluate the integral integralegral duplaS(curl F) cdot n d A directly for the given F and S.
F=[0, 0, 5 x cos z],
S: x^2+y^2=4, y >=q 0,0 <=q z <=q 12 pi

Passo 1

Beleza! O enunciado diz que a gente tem o campo vetorial
F(x,y,z) = l[,0,;0,;5xcos zr]
e a superfĆ­cie x^2 + y^2 = 4, y >= 0, 0 <= z <= tfracpi2 Ć© o ā€œmeioā€ cilindro dado por
integral duplaS (nabla times F)cdot n,dA
O que pede Ć© calcular diretamente a integral de superfĆ­cie
ConteĆŗdo envolvido:
  • como achar o rotacional ( ),
  • parametrizar o cilindro em coordenadas cilĆ­ndricas,
  • determinar o vetor normal e o elemento de Ć”rea ,
  • montar e resolver a integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o rotacional nablatimesF =l(partial F3partial y-partial F2partial z,; partial F1partial z-partial F3partial x,; partial F2partial x-partial F1partial yr) . Lembra a definição
nablatimesF = l[,0,;-5cos z,;0,r]
Aqui , , . Então
  • Componente : .
  • Componente : .
  • Componente : .
Logo

Passo 3

Agora parametrizamos o meio-cilindro. Em coordenadas cilĆ­ndricas:
x = 2costheta, y = 2sintheta, z=z,
com n = 1l| (x,y,0)r|,(x,y,0) = 12,(x,y,0) (porque dA = (raio),dtheta,dz = 2,dtheta,dz ) e .
O vetor normal ā€œpara foraā€ (radial) Ć©
E o elemento de Ɣrea do cilindro Ʃ

Passo 4

Montamos a integral
integral duplaS (nablatimesF)cdotn,dA = integral dupla l[0,-5cos z,0r];cdot;12[x,y,0]; (2,dtheta,dz)
O produto escalar dĆ”
(nablatimesF)cdotn = l[0,-5cos z,0r]cdotl[tfracx2,tfracy2,0r] = -5cos z;y2
Multiplicando por -5cos z;y2;times 2 ;=;-5,ycos z , o integrando fica
-5,ycos z = -5,(2sintheta),cos z = -10sintheta,cos z
Mas integraltheta=0^pi!integralz=0^pi/2 -10sintheta,cos z;dz,dtheta = -10l(integral0^pisintheta,dthetar)l(integral0^pi/2cos z,dzr) , então
-10 times 2 times 1 = -20
Logo a integral Ć©
Calculando:
e
.
Então o resultado é

Resposta

ExercĆ­cios relacionados