Evaluate the integral
directly for the given
and
.
,
Passo 1
Beleza! O enunciado diz que a gente tem o campo vetorial
e a superfĆcie
Ć© o āmeioā cilindro dado por
O que pede Ć© calcular diretamente a integral de superfĆcie
ConteĆŗdo envolvido:
- como achar o rotacional (
), - parametrizar o cilindro em coordenadas cilĆndricas,
- determinar o vetor normal e o elemento de Ɣrea
, - montar e resolver a integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o rotacional
. Lembra a definição
Aqui
,
,
. Então
- Componente
: . - Componente
: . - Componente
: .
Logo
Passo 3
Agora parametrizamos o meio-cilindro. Em coordenadas cilĆndricas:
com
(porque
) e
.
O vetor normal āpara foraā (radial) Ć©
O vetor normal āpara foraā (radial) Ć©
E o elemento de Ɣrea do cilindro Ʃ
Passo 4
Montamos a integral
O produto escalar dĆ”
Multiplicando por
-5cos z;y2;times 2 ;=;-5,ycos z , o integrando fica
Mas
integraltheta=0^pi!integralz=0^pi/2 -10sintheta,cos z;dz,dtheta = -10l(integral0^pisintheta,dthetar)l(integral0^pi/2cos z,dzr) , então
Logo a integral Ć©
Calculando:
e
.
Então o resultado é
Então o resultado é