Evaluate this integral by the divergence theorem. (Show the details.)
the sphere
the sphere
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente usar o Teorema da Divergência pra calcular o fluxo de
através da esfera
.
Conteúdo envolvido: Teorema da Divergência e cálculo de divergência + volume de esfera.
O que vamos precisar:
Conteúdo envolvido: Teorema da Divergência e cálculo de divergência + volume de esfera.
O que vamos precisar:
- Saber o que diz o Teorema da Divergência.
- Calcular a divergência
. - Encontrar o volume da bola de raio 3.
Passo 2
Teorema da Divergência (ou Gauss):
onde
é o volume dentro da superfície
e
é o vetor normal externo.
Aqui a ideia é transformar o fluxo pela superfície num integral triplo mais tranquilo.
Aqui a ideia é transformar o fluxo pela superfície num integral triplo mais tranquilo.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
:
Ela é constante, ou seja
em todo ponto.
Passo 4
Agora plugamos no integral triplo:
O volume de uma esfera (ou bola em 3D) de raio
é
Aqui
, então