Evaluate this integral by the divergence theorem. (Show the details.)
the sphere F=[lllx, & y, & z], S

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente usar o Teorema da Divergência pra calcular o fluxo de
F = l[x,,y,,zr]
através da esfera .
Conteúdo envolvido: Teorema da Divergência e cálculo de divergência + volume de esfera.
O que vamos precisar:
  1. Saber o que diz o Teorema da Divergência.
  2. Calcular a divergência .
  3. Encontrar o volume da bola de raio 3.

Passo 2

Teorema da Divergência (ou Gauss):
integral duplaSFcdotn,dS ;=; integral triplaV (nablacdot F),dV,
onde é o volume dentro da superfície e é o vetor normal externo.
Aqui a ideia é transformar o fluxo pela superfície num integral triplo mais tranquilo.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de nablacdot F =partialpartial x(x) +partialpartial y(y) +partialpartial z(z) =1+1+1=3 :
Ela é constante, ou seja em todo ponto.

Passo 4

Agora plugamos no integral triplo:
integral duplaSFcdotn,dS =integral triplaV3,dV =3;times;l(volume da bola de raio 3r)
O volume de uma esfera (ou bola em 3D) de raio V=43pi R^3 é
V=43pi,(3)^3 =43picdot27 =36pi
Aqui , então

Resposta

integral duplaSFcdotn,dS =3times 36pi =108pi

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