Evaluate the integral integralegral duplaS(curl F) cdot n d A directly for the given F and S.
F=[-e^y, e^z, e^x],
S: z=x+y(0 <=q x <=q 1,0 <=q y <=q 1)

Passo 1

Resumo do enunciado e do que vamos usar
Temos que avaliar
integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dA,
onde
F = l[-e^y,;e^z,;e^xr], S:;z = x + y, 0<= x<=1,;0<= y<=1
Conteúdo: CÔlculo vetorial (rotacional, parametrização de superfície, vetor normal e integral dupla).
O que precisamos:
  1. Calcular .
  2. Parametrizar por .
  3. Encontrar o vetor normal via produto vetorial
  4. Fazer o produto escalar e integrar.

Passo 2

CƔlculo do rotacional nablatimes F = i & j & k pfracx & pfracy & pfracz -,e^y & e^z & e^x
Por definição, em coordenadas cartesianas
[
\nabla\times \mathbf F

.
]
Isto dĆ”
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(nablatimes F)x =pfracye^x-pfracze^z =0 - e^z =-e^z,

Passo 3

Parametrização de r(x,y) = (x,;y,;x+y), 0<= x,y<=1 e vetor normal
Escolhemos
rx = (1,0,1), ry = (0,1,1)
Então
n,dA = rxtimes ry,dx,dy = l|! i & j & k 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 !r|;dx,dy =(-1,,-1,;1),dx,dy
O vetor normal (orientado para cima, ) Ć©
[
\mathbf n,dA = \mathbf r_x\times\mathbf r_y,dx,dy

\bigl|! !\bigr|;dx,dy
=(-1,,-1,;1),dx,dy.
]

Passo 4

Produto escalar e integral dupla
Substituindo (nablatimes F)l(x,y,x+yr);cdot;(-1,-1,1) = (-e^x+y,,-e^x,,e^y)cdot(-1,-1,1) = e^x+y+e^x+e^y e fazendo o escalar
integral dupla[0,1]^2 l(e^x+y+e^x+e^yr);dx,dy
A integral fica
(e-1)^2 + (e-1)+(e-1) =(e-1)^2 +2(e-1) =(e-1)l((e-1)+2r) =(e-1)(e+1) =e^2-1
Separamos em trĆŖs integrandas:
Somando tudo:

Resposta

boxede^2-1

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