Evaluate the integral
directly for the given
and
.
,
Passo 1
Resumo do enunciado e do que vamos usar
Temos que avaliar
Temos que avaliar
onde
ConteĆŗdo: CĆ”lculo vetorial (rotacional, parametrização de superfĆcie, vetor normal e integral dupla).
O que precisamos:
O que precisamos:
- Calcular
. - Parametrizar
por . - Encontrar o vetor normal
via produto vetorial - Fazer o produto escalar
e integrar.
Passo 2
CƔlculo do rotacional
Por definição, em coordenadas cartesianas
[
\nabla\times \mathbf F
.
]
]
Isto dĆ”
Logo
Passo 3
Parametrização de
e vetor normal
Escolhemos
Então
O vetor normal (orientado para cima,
) Ć©
[
\mathbf n,dA = \mathbf r_x\times\mathbf r_y,dx,dy
\bigl|!
!\bigr|;dx,dy
=(-1,,-1,;1),dx,dy.
]
=(-1,,-1,;1),dx,dy.
]
Passo 4
Produto escalar e integral dupla
Substituindo e fazendo o escalar
Substituindo
A integral fica
Separamos em trĆŖs integrandas:
Somando tudo: