Evaluate the integral integralegral duplaS(curl F) cdot n d A directly for the given F and S.
F=[3 cos y, cosh z, x],
S the square 0 <=q x <=q 2,0 <=q y <=q 2, z=4

Passo 1

O enunciado pede para calcular diretamente a integral de superfície
onde
integral duplaS(curl F)cdotn,dA
e F(x,y,z) = [,3cos y,;cosh z,;x,] é o quadrado no plano .
Conteúdo: Cálculo vetorial (rotacional e integral de superfície).
Vamos precisar de:
  1. Fórmula do rotacional .
  2. Vetor normal unitário à superfície .
  3. Reduzir a integral de superfície a uma integral dupla em .

Passo 2

Calcular o rotacional .
Se curl F =l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,; partial Ppartial z-partial Rpartial x,; partial Qpartial x-partial Ppartial yr) ,
Aqui (curl F)x &=partial xpartial y-partial (cosh z)partial z =0 - sinh z = -sinh z, (curl F)y &=partial (3cos y)partial z-partial xpartial x =0 -1 = -1, (curl F)z &=partial (cosh z)partial x-partial (3cos y)partial y =0 -(-3sin y)=3sin y , curl F = l(-sinh z,;-1,;3sin yr) , . Então:
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Passo 3

Identificar o vetor normal n=(0,0,1) à superfície (curl F)cdotn = (-sinh z, -1, 3sin y)cdot(0,0,1) =3sin y .
Como é um plano paralelo ao eixo , a normal unitária para cima é
Então

Passo 4

Transformar a integral de superfície numa integral dupla em integral duplaS(curlF)cdotn,dA =integral dupla0<= x<=2,;0<= y<=23sin y;dx,dy .
Temos
Como integral0^2!!integral0^23sin y;dx,dy =integral0^2l[3sin ycdotunderbraceintegral0^2dx=2r]dy =6integral0^2sin y;dy não depende de integral0^2sin y;dy = [-cos y]0^2 = -cos2 + cos0 = 1 - cos2 ,
6integral0^2sin y,dy = 6l(1-cos2r)
Calcule a integral de :
Portanto

Resposta

boxed6l(1 - cos2r)

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