Let f=z y+y x, v=[y, z, 4 z-x], w=[y^2, z^2, x^2].
Find curl(v times w)+curl(w times v)

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos
f = z,y + y,x, v = [,y,;z,;4z - x,], w = [,y^2,;z^2,;x^2,],
e pede para achar
O assunto é cálculo vetorial: produto vetorial e rotacional (curl). Vamos usar duas propriedades-chave:
  1. o produto vetorial é anti-comutativo;
  2. o rotacional é linear.

Passo 2

Primeiro, lembra que para quaisquer campos vetoriais AtimesB = -,(BtimesA) , vale
vtimesw = -,(wtimesv)
Então aqui

Passo 3

Agora usamos a linearidade do rotacional. Para vetores nablatimes(A+B) = nablatimesA ;+;nablatimesB, nablatimes(c,A) = c,(nablatimesA) e escalar constante curl(vtimesw) + curl(wtimesv) = curl(vtimesw) + curll(-(vtimesw)r) :
curl(vtimesw) - curl(vtimesw) = 0
Então, substituindo e :
Como , isso vira

Resposta

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