Let f=z y+y x, v=[y, z, 4 z-x], w=[y^2, z^2, x^2].
Find curl(grad f), div(grad f), div v

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos
f(x,y,z)=z,y + y,x, v=[,y,;z,;4z - x,], w=[,y^2,;z^2,;x^2,]
E a gente precisa encontrar
  1. ,
  2. ,
  3. .
Isso é cálculo vetorial: para resolver a gente vai usar as definições de
  • gradiente: ,
  • divergente: ,
  • rotacional (curl): .

Passo 2

Primeiro, calcula o gradiente de fx = partialpartial x(xy + yz) = y, fy = partialpartial y(xy + yz) = x + z, fz = partialpartial z(xy + yz) = y :
grad f = [,y,;x+z,;y,]
Logo

Passo 3

Agora o rotacional de :
Se você expandir esse determinante, vai ver que cada componente é
Então

Passo 4

Para a divergência de , que é o laplaciano de div(grad f) =partialpartial x(y) +partialpartial y(x+z) +partialpartial z(y) :
Como div(grad f)=0+0+0=0 , e , dá

Passo 5

Finalmente, div v =partialpartial x(y) +partialpartial y(z) +partialpartial z(4z - x) =0 + 0 + 4 = 4 com :

Resposta

Exercícios relacionados