Let f=z y+y x, v=[y, z, 4 z-x], w=[y^2, z^2, x^2].
Find div(v times w)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Dado
e
, encontre .”
Isso é cálculo vetorial: envolve produto vetorial, divergência e rotacional (curl).
Para resolver, vamos precisar:
  1. A identidade
    .
  2. Calcular e com derivadas parciais.
  3. Fazer os produtos escalares e montar a resposta.

Passo 2

Teoria rápida:
  • O rotacional de um campo curlA =l(partialy A3-partialz A2,; partialz A1-partialx A3,; partialx A2-partialy A1r) é
  • A divergência de é
    .
  • A identidade que usamos faz a ligação entre cruz e div.

Passo 3

Calcular , onde curlv &=l(partialy(4z-x)-partialz(z),; partialz(y)-partialx(4z-x),; partialx(z)-partialy(y)r) &=(0-1,;0-(-1),;0-1) &=(-1,;1,;-1) :

Passo 4

Calcular , com curlw &=l(partialy(x^2)-partialz(z^2),; partialz(y^2)-partialx(x^2),; partialx(z^2)-partialy(y^2)r) &=(0-2z,;0-2x,;0-2y) &=(-2z,,-2x,,-2y) :

Passo 5

Usando a identidade

fazemos os dois produtos escalares:

  1. div(vtimesw) =(-y^2+z^2-x^2);-;(-10yz-2xz+2xy) = -y^2 + z^2 - x^2 +10yz +2xz -2xy
Então

Resposta

boxeddiv(vtimesw) = -,y^2 ;+;z^2;-;x^2;+;10,y,z;+;2,x,z;-;2,x,y

Exercícios relacionados