Mostre que, para o caso do estado plano de tensão, a lei de Hooke pode ser expressa como:
sigmax=E(1-v^2)(epsilonx+v epsilony), sigmay=E(1-v^2)(epsilony+v epsilony)

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer mostrar que, no estado plano de tensão (σₓ, σᵧ são não-nulos, mas σ_z = 0), a lei de Hooke fica
sigmax=E1-nu^2l(epsilonx+nu,epsilonyr), sigmay=E1-nu^2l(epsilony+nu,epsilonxr),
Conteúdo: Elasticidade linear, módulo de Young , coeficiente de Poisson , condição de plane stress e solução de sistema linear. Vamos usar a lei de Hooke em 3D e impor σ_z=0, depois inverter o sistema para achar σₓ e σᵧ.

Passo 2

Lei de Hooke em 3D (relação tensões ↔ deformações):
epsilonx = tfrac1El(sigmax - nu,sigmay - nu,sigmazr), epsilony = tfrac1El(sigmay - nu,sigmax - nu,sigmazr), epsilonz = tfrac1El(sigmaz - nu,sigmax - nu,sigmayr)
Aqui são as deformações e as tensões. No estado plano de tensão, a gente impõe σ_z = 0.

Passo 3

Substituindo σ_z = 0 nas duas primeiras equações, obtemos:
epsilonx = tfrac1El(sigmax - nu,sigmayr), epsilony = tfrac1El(sigmay - nu,sigmaxr)
Multiplicando cada uma por sigmax - nu,sigmay = E,epsilonx, (1) -nu,sigmax + sigmay = E,epsilony (2) , vira um sistema linear em σₓ e σᵧ:

Passo 4

Vamos resolver para (sigmax - nu,sigmay) + nu,(-nu,sigmax + sigmay) = E,epsilonx + nu,E,epsilony . Uma forma rápida é usar combinação linear (ou regra de Cramer). Se eu somo a equação (1) com sigmax - nu^2,sigmax ;+;(-nu,sigmay + nu,sigmay) = (1-nu^2),sigmax vezes a equação (2), fica:
(1-nu^2),sigmax = E,(epsilonx + nu,epsilony) ;;Longrightarrow;; sigmax = E1-nu^2l(epsilonx + nu,epsilonyr)
No LHS agrupamos termos em σₓ e σᵧ:
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Passo 5

Para (-nu,sigmax + sigmay) + nu,(sigmax - nu,sigmay) = E,epsilony + nu,E,epsilonx , fazemos combinação semelhante: somamos a equação (2) com -nu,sigmax + nu,sigmax + sigmay - nu^2,sigmay = (1-nu^2),sigmay vezes a equação (1):
(1-nu^2),sigmay = E,(epsilony + nu,epsilonx) ;;Longrightarrow;; sigmay = E1-nu^2l(epsilony + nu,epsilonxr)
No LHS dá
Então

Resposta

Mostramos que, no estado plano de tensão, a lei de Hooke fica
sigmax=E1-nu^2l(epsilonx+nu,epsilonyr), sigmay=E1-nu^2l(epsilony+nu,epsilonxr)

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