Mostre que, para o caso do estado plano de tensão, a lei de Hooke pode ser expressa como:
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente quer mostrar que, no estado plano de tensão (σₓ, σᵧ são não-nulos, mas σ_z = 0), a lei de Hooke fica
Conteúdo: Elasticidade linear, módulo de Young , coeficiente de Poisson , condição de plane stress e solução de sistema linear. Vamos usar a lei de Hooke em 3D e impor σ_z=0, depois inverter o sistema para achar σₓ e σᵧ.
Passo 2
Lei de Hooke em 3D (relação tensões ↔ deformações):
Aqui são as deformações e as tensões. No estado plano de tensão, a gente impõe σ_z = 0.
Passo 3
Substituindo σ_z = 0 nas duas primeiras equações, obtemos:
Multiplicando cada uma por sigmax - nu,sigmay = E,epsilonx, (1) -nu,sigmax + sigmay = E,epsilony (2) , vira um sistema linear em σₓ e σᵧ:
Passo 4
Vamos resolver para (sigmax - nu,sigmay) + nu,(-nu,sigmax + sigmay) = E,epsilonx + nu,E,epsilony . Uma forma rápida é usar combinação linear (ou regra de Cramer). Se eu somo a equação (1) com sigmax - nu^2,sigmax ;+;(-nu,sigmay + nu,sigmay) = (1-nu^2),sigmax vezes a equação (2), fica: